炎德?英才大联考高三月考试卷(八)
理 科 数 学
湖南师大附中高三数学备课组组稿
命题人：洪利民 谢美丽 贺仁亮 审题人：洪利民 谢美丽 贺仁亮
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．定义集合M与N的新运算：
，若
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在等差数列
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知对任意实数
，有
，
，且
时，
，
，则
时，有（ ）
A．，
B．，
C．
，
D．，
4．在平面直角坐标系
中，已知
顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．与点位置有关
5．四面体
的外接球球心在
上，且
，
，则在外接球球面上
，两点间的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设随机变量
～
，且当二次方程
无实根时的的取值概率为0.5，则
（ ）
A．0 B．
7．设
，
，
均为正数，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，
。规定：给定一个实数
，赋值
，若
，则继续赋值
，…，以此类推，若
，则
，否则停止赋值，如果得到
称为赋值了
次（
）。已知赋值
次后该过程停止，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9．“
或
”是“
”成立的
条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)．
10．
11．若
的斜边
在平面
内，顶点在平面外，则两直角边
，
在平面上的射影与斜边组成的图形是
。
12．已知
是单位向量，
，则在方向上的投影为
。
13．由线性约束条件
所确定的区域面积为
，当
时，记
，则
的最大值为
。
14．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是
。
15．设数列的前项和为
，令
，称
为数列
，
，…，
的“理想数”，已知数列，，…，
的“理想数”为
，那么数列，，，…，的“理想数”是
。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
，
是
的导函数。
（1）求函数
的最大值和最小正周期；
（2）若
，求
的值。
17．（本小题满分12分）
某种项目的射击比赛，开始时在距目标，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求这名射手分别在第二次、第三次射击中命中目标的概率及三次射击中命中目标的概率；
(2)设这名射手在比赛中得分数为，求随机变量的概率分布列和数学期望．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱
中，
侧面
，
为棱
的中点，已知
，
，
，
，求：
（1）异面直线
与
的距离；
（2）三面角
的平面角的正切值。
19．(本小题满分13分)
某出版公司为一本畅销书定价如下：
这里表示定购书的数量，
表示定购本所付的钱数(单位：元)．
(1)有多少个，会出现买多于本书比恰好买本书所花钱少?
(2)若一本书的成本价是5元，现在甲、乙两人来买书，每人至少买1本，甲买的书不多于乙买的书，两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?
20．(本小题满分13分)
已知向量
，
，动点
到定直线
的距离等于
，并且满足
，其中
是坐标原点，是参数。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）当
时，若直线与动点的轨迹相交于、
两点，线段
的垂直平分线交轴，求
的取值范围；
（3）如果动点的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足
，求的取值范围。
21．(本小题满分13分)
已知函数
，数列满足：
，
（1）求证：
；
（2）求证数列
是等差数列；
（3）求证不等式：
炎德?英才大联考高三月考试卷(八)
一、选择题：
1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B
二、填空题：
9．必要不充分 10．
11．线段或钝角三角形 12．
13．
14．
15．
三、解答题：
16．解：（1）∵
，……………………………………………（2分）
∴
……………………………………………（4分）
∴当
（
）时，
最小正周期为
……………………………………………（6分）
（2）∵
∴
……………………………………………（9分）
∴
…………（12分）
17．解：（1）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D．依题意
。设在
米处击中目标的概率为
，则
，由
时，所以
，
，即
，…………………（2分）
，
…………………………（5分）
由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击中命中目标的概率为
…………………………（8分）
(2)依题意，设射手甲得分为
，则
，
，
，
，所以的分布列为
所以
…………………………（12分）
18．解：解法一：（1）∵
平面
，∴
又∵
为
的中点，∴
，而
，且
，∴
为等边三角形。∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
是异面直线
与
的公垂线段。
∴异面直线与的距离为1。…………………………（6分）
（2）∵
，∴
…………………………（8分）
又∵
，∴异面直线
与
所成的角即为二面角
的大小。
∴
即为所求。
又∵
，
…………………………（10分）
∴
…………………………（12分）
解法二：（1）建立如图所示空间直角坐标系。
由于，
，，
，在三棱柱
中有
，
，
，
，
……………………（2分）
，∴
，
故
，即
……………（4分）
又面
，故。因此是异面直线与的公垂线段，
则
，故异面直线与的距离为1。……………（6分）
（2）由已知有
，
，故二面角的平面角
的大小为向量
与
的夹角。
因
，
…………………………（10分）
故
，
即
…………………………（12分）
19．解：(1)由于
在各段上都是单调增函数，因此在第一段上不存在买多于
本书比恰好买本书所花钱少的问题，一定是各段分界点附近因单价的差别造成买多于本书比恰好买本书所花钱少的现象．
，
，∴
……………（1分）
，∴
…………………………（2分）
，
，∴
，∴
，
，
∴
，
，∴
…………………（5分）
∴这样的有23，24，45，46，47，48，共6个。…………………（6分）
（2）设甲买本书，则乙买
本，且
，
①当
时，
，
出版公司赚得钱数
…………………（7分）
②当
时，
，
出版公司赚得钱数
…………………（8分）
③当
时，
，
出版公司赚得钱数
…………………（9分）
∴
……………………………………（10分）
∴当时，
；当时，
；
当时，
。
故出版公司至少能赚302元，最多赚384元．……………………………………(13分)
20．解：（1）设
，则由
，
且
是原点，
得
，
，
，从而
，
，
，
，
，根据
得
，
即
为所求轨迹方程。………………………………(4分)
（2）当
时，动点
的轨迹方程是
，即
，
∵
的方程为
，∴
代入，
∴
，∴
，∴
，
∴
或
，∴
。
∴
的中点为
，∴垂直平分线方程为
，
令
得
，∴
∴
，
∴
（
）…………………(8分)
（3）由于
，即
，所以此时圆锥曲线是椭圆，其方程可以化为
………………………………(9分)
①当
时，
，
，
，此时
，
而
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