1．  组合数公式的两种形式是什么：

2．  利用组合数的公式的第二种形式计算   ，根据学生的回答，教师板书如下：

（1）       组合数公式：

     } (n,m∈N,且m≤N)

二、新课讲授：

1．  通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1）       利用组合数的公式，考察：

 与，   与，       与

的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）

∵，

又，

∴=；

∵

又

∴；

∵

又

∴=。

由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即

   定理1：=，(n,m∈N,且m≤N)

(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答）

方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。

我们知道，

，

显然，等于。于是可得下面的证明。

证明：∵，

又，

∴=。

（3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是等于从 n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数，即=。

（4）当  时，利用这个公式，可是的计算简化。如：

，

。

（5） 注意：当m=n时，公式=变形为

             ，

又=1，所以规定：=1即 0！=1

（6）在这样的一组组合数：

，，……，，

中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：

=，=，=，……。

2．  用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1） （1）用计算的方法考察组合数：

与，  与

的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）

∵

∴=

∵

∴=

规律：若n、,m是自然数，m≤n，则

，（或 ）

定理2    (n,m∈N,且m≤N)

（2）       定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵ 

∴

（3）对于定理2，还可以这样解释：从， ，….，这n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，这些组合可以分成两类：一类含，一类不含。含的组合是从，….，这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为，不含的组合是从，….，这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为。再由加法原理，得：

。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出m个元素的组合数与从n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

1．  计算与；

2．  求；

3．  利用定理2证明：

证明：

          ……

又证：将原式左边的各项写成：

，  ，   ， ……

，，

将上述的等式两边相加，得：