高考数学模拟测试题（四）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 
次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集I={2，4，6，8}，集合A={8，|a－1|}，
={4，6}，则a的值为（ ）
A．－3 B．1 C．－3或1 D． 3或－1
2．已知函数f(x)=
，则它的反函数y=
的图象是( )
3．已知tan
=
,tan(－
)=－
，则tan(－2)的值是（ ）
A．
B． －
C．
D． －
4．将函数
的图象按向量a=(
,0)平移后，所得图象对应的函数是 （ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
S2
5.7
6.2
5.7
6.4
5．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数
及
其方差S2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选是 ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB = AC = 2
，BC = 4，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．1 B．
C．
D．2
7．已知双曲线
的一条准线被它的两条渐近线截得的线段长等于它的焦点到渐近线的距离,则该双曲线的离心率为( )
A．
B．2 C． D．
8．已知集合
，集合
，那么
中 （ ）
A．恰有两个元素 B．恰有一个元素 C．没有元素 D．至多有一个元素
9．某路公共汽车始发站停放着2辆公共汽车，有3名司机和4名售票员准备上车执行运营任务，若每辆汽车需要1名司机和2名售票员，其中1名售票员为组长，那么不同安排的方法总数是（ ）
A．36 B．72 C．144 D．288
10．条件
的解；条件
的解，则
的（
）
A ．充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C ．充要条件 D． 非充分非必要条件
11. 等差数列{a n}中，已知a9＋a11=p，a 90＋a 92=q，则其前100项的和为 （ ）
A． 100(p+q) B．
50(p+q) C．25(p+q) D． 
12．设函数
满足
，则方程
根的个数可能是（ ）
A． 无穷多 B．没有或者有限个 C．有限个 D．没有或者无穷多
二、填空题：本大题共６小题，每小题４分，共２４分.
13．给定两个向量a=(1,2)，b =(x,1)，若a＋b与a－b垂直，则x的值等于______________．
14．
的展开式中x2的系数为
．
15．已知直线
和平面
，试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断⊥ 的真命题 ．
16．已知x、y满足约束条件
，则z=2x+y的最大值是 ．
17．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若
，则角C的取值范围是
．
18．定义在N＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=
则f(22) = ．
三、解答题：本大题共5小题，共66分.
19．（本小题满分12分）10张奖券中，一等奖的有2张，二等奖的有3张，三等奖的有5张．每次从中任抽１张．
（Ⅰ）连续抽取３次（每次取后不放回），求至少有一次中一等奖的概率；
（Ⅱ）连续抽取５次（每次取后放回），求第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的概率．
20．（本小题满分12分）设函数
．
（Ⅰ）若
的图象与直线
相切，切点横坐标为２，且在
处取极值，求实数
的值；
（Ⅱ）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．
21．(本小题满分14分） P是矩形ABCD所在平面外一点，AB=2，BC=3，PA=PB=
，二面角
P－AB－C为600．
（Ⅰ）求PC与平面ABCD所成的角；
（Ⅱ）在PC上找一点E，使PA∥平面BED；
（Ⅲ）求PC与BD所成的角．
22．（本小题满分14分）已知点A、B的距离为2，以B为圆心作半径为2的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；
（Ⅱ）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．
23．（本小题满分14分）设数列
满足 a1=t，a2=t2，前n项和为Sn，且Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0(n∈N＋)．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）当t≠1时，求
的前n项和
；
（Ⅲ）若＜t＜2, 
，求证：
<
．
一、选择题：
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A ９．C 10．A 11．C 12．D
二、填空题：13. －２ 14．１１ １５． 
⊥
或 
⊥
１６．3 １７．
１８．
三、解答题
19．解：（Ⅰ）记至少有一次中一等奖的事件为Ａ，
则其概率Ｐ（Ａ）＝
＋
＝
．
答：至少有一次中一等奖的概率为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
注：本小问缺少事件命名、答，各扣一分．
（Ⅱ）每次抽取奖券都是相互独立的，其中后四次分别看作独立重复实验． ．．．．．．．．７分
设第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的事件为B， ．．．．．．．．．．．８分
则其概率Ｐ（B）
=0.05292 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分
答：第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的概率为0.05292． ．．．．．．．．．．１2分
20．解：（Ⅰ）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
由题意
，代入上式，解之得：a=1，b=1． ．．．．．．．．．．5分
（２）当b=1时，
因
故方程有两个不同实根
． ．．．．．．．．．．．．8分
不妨设
，由
可判断
的符号如下：
当
＞０；
当
＜０；
当
＞０
因此
是极大值点，
是极小值点． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分
所以，当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数
总有两个不同的极值点．．．．．12分．
21．21．解:
（Ⅰ）设P点在平面ABCD上的射影为O, 连接CO,则∠PCO就是PC与平面ABCD所成的角,--------------------------1分
取AB的中点M,连接PM、OM,因为PA=PB,所以PM⊥AB,由三垂线定理的逆定理得OM⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P-AB-C的平面角，即∠PMO=600，--------------2分
在ΔPAB中，
PM=
过O作ON⊥BC交BC于N,则BN=MO=1,
在RtΔCON中,OC=
------------------------3分
在RtΔPOC中 ，tan∠PCO=
即PC与平面ABCD所成的角为arctan
.-------------------------------------5分
(Ⅱ)连接AC、BD.交于点H,则H为AC的中点，取PC中点E，则PA∥HE,-----7分
所求。---9分
（Ⅲ）取PA中点为F,连接HF,则HF∥PC,所以∠BHF为异面直线PC与BD所成的角或其补角。----------------10分
在ΔBHF中，
-------12分
COS∠BHF=
∠BHF=arccos
,即PC与BD所成的角为 arccos。--------14分
22．解：（Ⅰ）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A（－1,0），B（1,0）………………………………………1’
设M（x,y）,由题意：|MP|=|MA|,|BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2 ……..3’
故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆，……………………..5’
其方程为x2+2y2=2 ……………………….7’
（Ⅱ）直线l与曲线C的位置关系是相切。…………………8’
证明如下: 由（Ⅰ）知曲线C方程为x2+2y2=2，
设P(m,n)，则P在⊙B上，故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m …………..9’
当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±，显然结论成立. ………….10’
当P、A、B 不共线时，直线l的方程为：y-=-(x-)
整理得，y=－(x-)＋＝－x＋=－x＋ ………………….11’
把直线l的方程代入曲线C方程得：x2+2（－x＋）2＝2
整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0 ………………………12’
判别式△＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2]
[2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]
=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0
∴直线l与曲线C相切 ……………………………14’
说明：以A或B为原点建系，可参照得分.
另证：在直线l上任取一点M’，连结M’A、M’B、MA，……………………………9’
由垂直平分线的性质得 |M’A|=|M’P|，……………………………11’
∴|M’A|+|M’B|＝|M’P|+|M’B|≥｜PB｜＝2（当且仅当M、M’重合时取”=”号） ……13’
∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M
结论得证. …………14’
23解：（Ⅰ）；由Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0，得(t+1)Sn+1= Sn+2＋tSn，即
,
（2分）
而 a1=t，a2=t2 （3分）
所以，当t≠0时，数列
是以t为首项，t为公比的等比数列.于是
。
经验证当t=0时上述结论仍成立 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，则有
（5分）
当t≠0时
（6分）
于是有
，解得
（7分）
所以
经验证当t=0时上述结论仍成立 （9分）
（Ⅲ）＝(tn＋t-n) ∵(tn＋t-n)－(2n＋2-n)＝(tn－2n)[1－()n] 且
＜t＜2
∴＜<1 ∴tn－2n＜0且1－()n<0
∴(tn－2n) [1－()n]<0
∴tn＋t-n<2n＋2-n （11分）
∴ 2（ ++ ……+）<(2+22+……+2n)+ (2-1+2-2+……+2-n)=2(2n-1)+1-2-n
=2n+1－（1＋2-n） （12分）
＜2n+1－2
∴
<
（14分）
另解：对f(t)求导，可得函数
在区间
上单调减，在区间
上单调增，且f()=f(2)
于是有
所以<
=
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