（本题满分14分）

已知直线，圆.

（Ⅰ）证明：对任意，直线与圆恒有两个公共点.

（Ⅱ）过圆心作于点，当变化时，求点的轨迹的方程.

（Ⅲ）直线与点的轨迹交于点，与圆交于点，是否存在的值，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

（本题满分14分）
已知直线，圆.
（Ⅰ）证明：对任意，直线与圆恒有两个公共点.
（Ⅱ）过圆心作于点，当变化时，求点的轨迹的方程.
（Ⅲ）直线与点的轨迹交于点，与圆交于点，是否存在的值，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

如图，以A₁、A₂为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C₁、D₁，连接CC₁与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.

（1）当c=1时，求双曲线E的方程；

（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

（3）连接A₁C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

如图，以A₁、A₂为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C₁、D₁，连接CC₁与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.

（1）当c=1时，求双曲线E的方程；

（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

（3）连接A₁C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

(湖南长郡中学模拟)如下图，以、为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、、，连接与OB交于点H，且有，其中，，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距．

(1)当c=1时，求双曲线E的方程；

(2)试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

(3)连接，与双曲线E交于点F，是否存在实数λ，使恒成立?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．