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    （本题满分14分）

    已知直线，圆.

    （Ⅰ）证明：对任意，直线与圆恒有两个公共点.

    （Ⅱ）过圆心作于点，当变化时，求点的轨迹的方程.

    （Ⅲ）直线与点的轨迹交于点，与圆交于点，是否存在的值，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

     

    【答案】

    （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）轨迹的方程为.

    （Ⅲ）存在，使得且.

    【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的综合运用。

    解：（Ⅰ）方法1：圆心的坐标为，半径为3…………………1分

    圆心到直线距离………………2分

    ∴

    ∴即

    ∴直线与圆恒有两个公共点……………………4分

    方法2：联立方程组…………………………1分

    消去，得………………2分

    ∴直线与圆恒有两个公共点………………………4分

    方法3：将圆化成标准方程为.…1分

    由可得：.

    解得，所以直线过定点.……………3分

    因为在圆C内，所以直线与圆恒有两个公共点.………………4分

    （Ⅱ）设的中点为，由于°，

    ∴

    ∴点的轨迹为以为直径的圆.………………7分

    中点的坐标为，.

    ∴所以轨迹的方程为.………………9分

    （Ⅲ）假设存在的值，使得.

    如图所示，

    有，……10分

    又，，

    其中为C到直线的距离.……………12分

    所以，化简得.解得.

    所以存在，使得且.……………………14分

     

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    π
    3
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