如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由

B沿棱柱侧面经过棱C C₁到点A₁的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交

点为D．

（1）求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；

（2）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；

（3）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，A A₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

（1）证明：无论入取何值，总有AM⊥PN；

（2）当入取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？

并求该角取最大值时的正切值。

（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面

角为30º，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由。

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在线段A₁B₁上，且

（1）证明：无论取何值，总有AM⊥PN；

（2）当时，求直线PN与平面ABC所成角的正切值.

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

（1）证明：无论入取何值，总有AM⊥PN；

（2）当入取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值。

（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º，若存在，试确定点P的位置，若不存在，说明理由。