2．结论开放与探索给出问题的条件.让解题者根据条件探索相应的结论.并且符合条件的结论往往呈现多样性.或者相应的结论的“存在性需要解题者进行推断.甚至要求解题者探求条件在变化中的结论.这些问题都是——青夏教育精英家教网—

2．结论开放与探索给出问题的条件.让解题者根据条件探索相应的结论.并且符合条件的结论往往呈现多样性.或者相应的结论的“存在性需要解题者进行推断.甚至要求解题者探求条件在变化中的结论.这些问题都是结论开放性问题.它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想.发现规律.得出结论.这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力. [例1] 将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子.假设图形中的所有点.线都在同一平面内. 回答下列问题: ⑴图中共有多少个三角形?把它们一一写出来, ⑵图中有相似三角形吗?如果有.就把它们一一写出来. [解析]:⑴先看△ABC中.一一数来共有6个三角形.再加上△AFG.共七个三角形,⑵由于∠DAE ＝∠B＝∠C＝45°.∠ADE＝∠B+∠1＝45°+∠1＝∠BAE.同理∠AED＝∠CAD.可得出△ADE∽△BAE∽△CDA. ⑴共有七个三角形.它们是: △ABD.△ABE.△ABC.△ADE.△ADC.△AEC.△AFG. ⑵有相似三角形.它们是: △ADE∽△BAE.△BAE∽△CDA.△ADE∽△CDA(或△ADE∽△BAE∽△CDA). [评注]:本题为考生提供了广阔的探究空间.通过分析.判断.有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养. [例2] 如图.⊙O的弦AB.CD的延长线相交于点E.请你根据上述条件. 写出一个正确的结论(所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母).并给出证明(证明时允许自行添加辅助线). ⌒ ⌒ [解析]:根据图形易得以下结论: ①,②AC＞BC,③AE＞DE,-- 可以得出的结论及证明如下: ① 如图连结AD.BC.∵∠A＝∠C.∠E＝∠E. ⌒ ⌒ ∴△AED∽△CEB ∴.即 ②AC＞BC, 如图.连结AD. ⌒ ⌒ ∵∠1是△ADE的外角.∠A是△ADE的内角 ⌒ ⌒ ∴∠A＞∠1 ∵∠1所对的弧是AC.∠A所对的弧是BD. ∴AC＞BC, ③AE＞DE. 证法一:如图.连结AD.BD.BC. ∵∠2是△BCD的外角.∠C是△BCD的内角. ∴∠2＞∠C.而∠ADE＞∠2.∠C＞∠A. ∴在△ADE中.∠ADE＞∠A.∴AE＞DE 证法二:∵EA·EB＜EA2.ED·EC＞ED2. 而EA·EB ＝ED·EC ∴EA2＞ED2.即EA＞ED. [评注]:这是一道以探索结论为目的的开放型试题.它不限结论.而是让考生根据条件去探索结论.因此.这类考题对开阔视野.启迪智慧.培养发散思维能力大有好处. [例3] 有一个二次函数的图象.三位学生分别说出它们的一些特点: 甲:对称轴是, 乙:与轴两个交点的横坐标都是整数, 丙:与轴交点的纵坐标也是整数.且以三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式: . [解析]:此题是一道结论开放型试题.题目条件已确定.而所要求的结论不惟一.本题以二次函数基本知识的掌握.同时也考查了学生发散思维的能力和数形结合的思想.由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出.若与轴两个交点的坐标分别是.则与轴交点为(0.3)或(0.).此时二次函数的解析式为或,若与轴两个交点的坐标分别是.则与轴交点为(0.1)或(0.).此时二次函数的解析式为或.只要得出一个答案即可. [例4] 关于的方程.是否存在负数.使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在.求出满足条件的的值,若不存在.说明理由. [解析]:先假设存在有满足条件的值.利用一元二次方程根与系数的关系.结合题意得出关于的方程.若能求出符合题意的值.则存在.否则不存在. 设方程的两个实数根是..由根与系数的关系.得 . 由题意得 . ∴ ∴ 又＜0. ∴＝.此时△＝20＞0成立. ∴＝. [例5] 在平面直角坐标系O中.已知抛物线的对称轴为.设抛物线与轴交于A点.与轴交于B.C两点(B点在C点的左边).锐角△ABC的高BE交AO于点H. ⑴求抛物线的解析式, ⑵在⑴中抛物线上是否存在点P.使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分?如果存在.求出P点的坐标,如果不存在.请说明理由. [解析]:⑴略,⑵解本题的方法是先假设这样的抛物线存在.然后根据题中的条件进行求解. ⑴抛物线的解析式为, ⑵令.即.得. ∴A(0.6).B(.0).C(3.0).由题意.有Rt△BHO∽Rt△ACO.得.即. ∴.故. 假设在抛物线上存在点P.使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分.则BP必过点. 当BP过点(.0)和(0.5)时.设BP的解析式为 .则.解得 ∴.由解得..∴P点坐标为(.) 当BP过点(.0)和(0.3)时.设BP的解析式为.则.解得 ∴.由解得.. ∴P点坐标为(.) 故抛物线上存在两点(.).(.).使BP分△ABH的面积为1∶3. [评注]:探索存在性问题的基本思路是.可先假设结论存在或成立.以此为前提进行运算或推理.若推出矛盾可否定假设.否则给出肯定的证明. [例6] 已知:如图.AB⊥CD.CD⊥BD. 垂足分别为B.D.AD和BC相交于点E.EF⊥BD.垂足为F. 我们可以证明成立. 若将图中的垂直改为斜交.如图.AB∥CD.AD.BC 相交于点E.过点E作EF∥AB.交BD于点F.则: ⑴还成立吗?如果成立.请给出证明,如果不成立.请说明理由, ⑵请找出S△ABD.S△BCD和S△BED间的关系式.并给出证明. [解析]:右图所表示的是一般情况.在探索结论的过程中.应设法将之转化为上图这样的特殊情况.故可过A.E.C点作BD的垂线. ⑴仍成立. 证明:过点A.E.C点作BD的垂线.交BD或其延长线于点M.N.K. 易证Rt△ABM∽Rt△EFN∽Rt△CDK. ∴AB∶EF∶CD=AM∶EN∶CK. 由题设 .知成立. ⑵由题设 . ∴, 即, 又 ∵S△ABD .S△BCD .S△BED . ∴. [评注]:本题从特殊情形入手.通过图形的变换.寻找数量上的内在规律.颇具新意. [例7] 已知△ABC中.AB=5.BC=3.AC=4.PQ∥AB.P点在AC上(与点A.C不重合).Q点在BC上. ⑴当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时.求CP的长, ⑵当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时.求CP的长, 试问.在AB上是否存在点M.使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在.请说明理由,若存在.请求出PQ的长, [解析]:本题是纯几何探索性问题.解这类题时.是先假设结论存在.若从已知条件和定义.定理出发.进行推理或计算得出相应的结论.则结论确实存在,若推证出矛盾或计算无解.则结论不存在. ⑴.⑵略. ⑶如图.△PQM为等腰直角三角形可能有两种情况: ①由右图假设.∠MPN＝90°.PM＝PQ时.由勾股定理逆定理则得∠C＝90°. ∴△ABC的AB上的高为. 设PM＝PQ＝.∵PQ∥AB.∴△CPQ∽△CAB. ∴.解之得 .即 . 当∠MQ′P＝90°.QP＝QM′时.同理得 . ②由右图.假设∠PMQ＝90°.MP＝MQ时. M到PQ的距离为PQ. 设PQ＝.∵PQ∥AB.∴△CPQ∽△CAB. ∴.解之得 .即 . ∴综上所述.在AB上存在点M.使△PQM为等腰直角三角形. [评注]:“存在性探索题.往往与传统的综合题相结合.来加大对考生分析.探索能力的考查.这类问题的情景新颖.富有挑战性.是启迪智慧的好素材. [题型设计与能力训练] 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．