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    例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数.试比较α,β的大小． 分析:一般情况下.F(x)可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数.即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方.这时为了判断幂指数α,β的大小.就需要讨论α,β的值在上.或是在成为两个同底数指数函数之差.由于指数函数y=at是减函数.又因为xα-xβ>0.所以得α<β． 例2．已知0<a<1.试比较 的大小． 分析:为比较aα与(aα) α的大小.将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数.因此只须比较底数a与aα的大小.由于指数函数y=ax为减函数.且1>a.所以a＜aα.从而aα<(aα) α． 比较aα与(aα) α的大小.也可以将它们看成底数相同(都是aα)的两个幂.于是可以利用指数函数 是减函数.由于1>a.得到aα<(aα) α． 由于a＜aα.函数y=ax是减函数.因此aα>(aα) α． 综上. ． 解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数.函数选得恰当.解决问题简单． 例3．关于x的方程 有实根.且根大于3.求实数a的范围． 分析:先将原方程化简为ax=3.但要注意0<x<3且x≠1．现将ax看成以a为底的指数函数.考虑底数a为何值时.函数值为3．如图点的指数函数的底 .现要求0<x<3时.ax=3.所以 .又因为x≠1.在图点的指数函数的底a=3.所以 ． 若将ax=3变形为 .令 .现研究指数函数a=3t.由0<x<1且x≠1.得 .如图(2).很容易得到: ． 通过本例.说明有些问题可借助函数来解决.函数选择得当.解决就便利． 例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数.且是偶函数.已知当x∈[2,3]时.f(x)=x,则当x∈[-2,0]时.f． =2-x f(x)=3+|x+1| 解法一.∵f=f可能正确． 又∵f对.选(C)． 解法二.依题意.在区间［2.3］上.函数的图象是线段AB. ∵函数周期是2. ∴线段AB左移两个单位得［0.1］上的图象线段CD,再左移两个单位得［–2.1］上的图象线段EF ． ∵函数是偶函数. ∴把线段CD沿y轴翻折到左边.得［–1.0］上的图象线段FC． 于是由直线的点斜式方程.得函数在［–2.0］上的解析式: 即 由于x∈[-2,-1]时.x+1≤0.x∈时.x+1>0. 所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]． 解法三.当x∈[-2,-1]时.x+4∈[2,3]. ∵函数周期是2. ∴f． 而f(x+4)=x+4. ∴x∈[-2,-1]时.f． 当x∈[-1,0]时.-x∈[0,1]. 且-x+2∈[2,3]． ∵函数是偶函数.周期又是2. ∴ . 于是在［–2.0］上. ． 由于x∈[-2,-1]时.x+1≤0.x∈时.x+1>0. 根据绝对值定义有x∈[-2,0]时.f(x)=3-|x+1|． 本题应抓住“偶函数 “周期性 这两个概念的实质去解决问题． 例5．已知y=loga在［0.1］上是x的减函数.则a的取值范围是 (D)［2.+∞］ 分析:设t=2-ax.则y=logat. 因此.已知函数是上面这两个函数的复合函数.其增减性要考查这两个函数的单调性.另外.还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用． 解法一.由于a≠1.所以(C)是错误的． 又a=2时.真数为2–2x.于是x≠1.这和已知矛盾.所以(D)是错的． 当0<a<1时.t=2-ax是减函数.而y=logat也是减函数. 故y=loga是x的增函数.所以(A)是错的． 于是应选(B)． 解法二.设t=2-ax.y=logat 由于a>0.所以t=2-ax是x的减函数. 因此.只有当a>1.y=logat是增函数时.y=loga在［0.1］上才是减函数, 又x=1时.y=loga(2-a). 依题意.此时.函数有定义.故2–a>0 综上可知:1<a<2. 故应选(B)． 例6．已知 .函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称.则g(5)= - 解法一.由 去分母.得 .解出x.得 . 故 .于是 . 设 .去分母得. .解出x.得 . ∴ 的反函数 ． ∴ ． 解法二.由 .则 . ∴ .∴ ． 即 的反函数为 . 根据已知: ∴ ． 解法三.如图.f(x)和f-1(x)互为反函数.当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时.做为“镜面 的另一侧的“象 f(x)的图象一定向下平移1个单位.因此f-1-1的图象关于y=x对称． 故f-1=f(x)-1. ∴ ． 本解法从图象的运动变化中.探求出f-1(x+1)的反函数.体现了数形结合的优势出 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知f(x)=
    1
    3
    ax3-a2x    ，函数g(x)=
    4x
    3x2+3
    ，x∈[0，2]
    （1）当a=1时，求f（x）在点（3，6）处的切线方程；
    （2）求g（x）的值域；
    （3）设a＞0，若对任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使g（x1）-f（x0）=0，求实数a的取值范围．

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    已知f(x)=2cos(ωx+θ)，(x∈R，0≤θ≤
    π
    2
    )    ，g（x）=ex-x2+2ax-1，（x∈R，a为实数），y=f（x）的图象与y轴交于点(0，
    		3
    )    ，且在该点处切线的斜率为-2．
    （I）若点A(
    π
    2
    ，0)    ，点P是函数y=f（x）图象上一点，Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=
    		3
    2
    ，x0∈[
    π
    2
    ，π]    时，求x0的值；
    （II）当a＞1+ln2时，试问：是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线？并证明你的结论．

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    已知f(x)=loga
    x+1x-1
    （a＞0且a≠1）．
    （1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
    （2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
    （3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-logan，1-logam]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．

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    已知f(x)=3cos2ωx+
    		3
    sinωxcosωx+a(ω＞0)    ，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为
    π
    2

    （1）求ω的值，
    （2）若当x∈[
    π
    6
    ，
    5π
    12
    ]    时，f（x）的最小值为2，求a的值，
    （3）求函数f（x）在区间[0，
    π
    2
    ]    上的递减区间．

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    已知f(x)=
    1
    4
    x4+
    1
    3
    x3+
    1
    2
    ax2+b    x+c．
    （1）如果b=0，且f（x）在x=1时取得极值，求a的值，并指出这个极值是极大值还是极小值，说明理由；
    （2）当a=-1时，如果函数y=f（x）的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求b的取值范围．

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