1．待定系数法待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一数学表达式中的待定参数的值.从而得到预期结果的方法．待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一．要判断一个数学问题能否使用待定——青夏教育精英家教网—

1．待定系数法待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一数学表达式中的待定参数的值.从而得到预期结果的方法．待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一．要判断一个数学问题能否使用待定系数法求解.关键是要看所求数学问题的结果是否具有某种确定的数学表达式.如果具有确定的数学表达式.就可以使用待定系数法求解． (1)用待定系数法求函数的解析式或数列的通项公式例1． .当x ∈>0当时.f(x)<0 求a.b及f(x) 解当a=0时.显然不符合题设条件.故a≠0.于是可由题设条件画出f(x)的草图．如图所示由图知.x=-2和x=6是方程的两根.a<0利用一元二次方程的根与系数的关系.得: 解得 ∴ 例2．已知函数是奇函数.当x>0时.f(x)有最小值2.并且x>0时.f(x)的递增区间求函数f(x)的解析式．解 ∵f=-f(x) 即 .从而求得c=0 ∵a>0,b>0,当x>0时. 当且仅当 .即时取等号．即当时.f(x)取最小值 .得a=b2 ∵x>0时.f(x)的递增区间是 .故时.f(x)取得最小值 ∴ .故a=4.从而b=2 ∴ ．注:本题给出函数f的解析式.就是利用待定系数法.根据题设条件求出a.b.c的值. 例3．已知数列{an}的通项 .是否存在等差数列{bn}.使 .对一切自然数n都成立.并说明理由．分析题目给出的条件是等式.等差数列{bn}具有确定的形式.可设bn=a1+(n-1)d或bn=pn+q.这两者是等价的.可利用待定系数法.根据题设条件看参数a1,d或p,q的值是否存在．解法一:假设存在等差数列{bn}.使对一切自然数n都成立．设 .则令n=1.得p+q=4 ① 令n=2.得5p+3q=18 ② 由①②联立.解得p=3,q=1故bn=3n+1.但这样得到的{bn}只是必要条件.也就是还必须证明其充分性.需用数学归纳法证明:对一切自然数n.等式: 成立解法二:可设 .请同学们自行完成． (2)用待定系数法求曲线方程含参数的曲线方程中.参数值确定.方程随之确定.这就为求曲线方程提供了一种有效方法--待定系数法.这是平面解析几何的重要内容．例4．已知抛物线的对称轴与y轴平行.顶点到原点的距离为5,若将抛物线向上移3个单位.则在x轴上截得的线段为原抛物线在x轴上截得线段的一半,若将抛物线向左平移1个单位.则抛物线过原点.求抛物线的方程．解根据题设可设所求的抛物线方程为: 其中h,a,k为待定系数.因此.必须建立关于h,a,k的三个独立等式．由顶点到原点的距离为5.知 ① 由抛物线(*)向上平移3个单位后的方程为: 令y=0.得方程: .设其二根为x1,x2.则在x轴上截得线段长为:在原抛物线(*)中.令y=0.得设其二根式为x3,x4.则在x轴上截得的线段长为: 依题意有: ② 又由抛物线(*)向左平移1个单位后的方程: 过原点.得 ③ 由①②③联立.解方程组得: 故所求抛物线方程为: 例5．若双曲线C满足下列三个条件: ①C的实轴在y轴上, ②渐近线方程为: , ③当A(5,2)到此双曲线上动点P的最小距离为3．求双曲线C的方程．解由故所求双曲线的中心为(0.2).又实轴在y轴上.故设双曲线方程为 (*) 由渐近线的斜率知: 即b=2a 故所求方程(*)化简为: 设双曲线上点P的距离为d.则 = 时.d2最小值5+a2 依题意有:5+a2=9.∴a2=4 故所求双曲线C的方程为: 说明引入含参数的曲线方程.用以表示具有某种共同性质的曲线系.再利用题设条件确定参数的值.从而求得曲线的方程.这种待定系数法.体现了引参求变.变中求定的思维策略． 2．含参数的方程与不等式例6．设a ∈R.且a≥0.在复数集C内解关于z的方程: ．解由原方程可得 .可知z为实数或纯虚数．若z ∈R.则 .由原方程化为由于a ≥0.判别式Δ=4+4a>0恒成立．解得故若z为纯虚数.设 .原方程化为判断式 Δ=4(1-a).当时. 此时. 当a>0时.△＜0.方程无实根.原方程无解. 综上.当时.原方程的解是 ,当a>0时.原方程的解是例7．已知a∈R.解不等式解若a=0.则不等式等价于两个不等式组: (Ⅰ) (Ⅱ) 当a<0时.(Ⅰ) (Ⅱ) 当a>0时(Ⅰ) 解集为φ (Ⅱ) 综上:当a＜0时.解集为 , 当a=0时.解集为φ, 当a＞0时.解集为．说明通过这一组含参数的方程与不等式的问题的分析研究可以看出.方程或不等式的解集与各项系数之间有着相互确定的密切关系.引入参数的思想方法.可深化对这种关系的认识提高相互转化的能力． 3．含参数的曲线方程与曲线的参数方程． (1)含参数的曲线方程的应用．例8．已知函数不论m取何值.此抛物线的顶点总在同一直线L上.(Ⅱ)任意一条平行于L且与抛物线相交的直线被各抛物线截得的线段长都相等．解将解析式变形为: 可知抛物线的顶点坐标是即顶点轨迹的参数方程是消去参数m.得 .说明不论m取何值.顶点均在直线L:上． (Ⅱ)设平行于L的直线L的方程为y=x+b.代入抛物线方程.得当 .即时.直线L与抛物线有两个交点A和B． = 与m无关说明直线L被各抛物线截得的线段长都相等． (2)曲线的参数方程的应用例9．点P(x,y)在椭圆上移动时.求函数的最大值．解析显然.要设法将二元函数的最值问题转化为求一元函数的最值问题.因此选用该椭圆的参数方程．由于代入函数解析式中. 于是 = = 令 ∴ 于是当即时.u有最大值． ∴ 时.u的最大值为．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

在一次实验中，采集到如下一组数据：