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    设f(x)是定义在[0, 1]上的函数.若存在x*∈(0.1).使得f(x)在[0, x*]上单调递增.在[x*.1]上单调递减.则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数.x*为峰点.包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0.l]上的单峰函数f(x).下面研究缩短其含峰区间长度的方法． (I)证明:对任意的x1.x2∈(0.1).x1＜x2.若f(x1)≥f(x2).则(0.x2)为含峰区间,若f(x1)≤f(x2).则(x*.1)为含峰区间, (II)对给定的r.证明:存在x1.x2∈(0.1).满足x2-x1≥2r.使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r, (III)选取x1.x2∈.x1＜x2.由(I)可确定含峰区间为(0.x2)或(x1.1).在所得的含峰区间内选取x3.由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0.x2)的情况下.试确定x1.x2.x3的值.满足两两之差的绝对值不小于0.02.且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差) 解:(I)证明:设x*为f(x) 的峰点.则由单峰函数定义可知.f(x)在[0, x*]上单调递增.在[x*, 1]上单调递减． 当f(x1)≥f(x2)时.假设x*(0, x2).则x1<x2<x*.从而f(x*)≥f(x2)>f(x1). 这与f(x1)≥f(x2)矛盾.所以x*∈(0, x2).即(0, x2)是含峰区间. 当f(x1)≤f(x2)时.假设x*( x2, 1).则x*<≤x1<x2.从而f(x*)≥f(x1)>f(x2). 这与f(x1)≤f(x2)矛盾.所以x*∈(x1, 1).即(x1, 1)是含峰区间. (II)证明:由(I)的结论可知: 当f(x1)≥f(x2)时.含峰区间的长度为l1＝x2, 当f(x1)≤f(x2)时.含峰区间的长度为l2=1-x1, 对于上述两种情况.由题意得 ① 由①得 1+x2-x1≤1+2r.即x1-x1≤2r. 又因为x2-x1≥2r.所以x2-x1=2r, ② 将②代入①得 x1≤0.5-r, x2≥0.5-r. ③ 由①和③解得 x1＝0.5-r. x2＝0.5+r． 所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5+r.即存在x1.x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r． (III)解:对先选择的x1,x2.x1<x2.由(II)可知 x1+x2＝l. ④ 在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下.x3的取值应满足 x3+x1＝x2. ⑤ 由④与⑤可得, 当x1>x3时.含峰区间的长度为x1． 由条件x1-x3≥0.02.得x1-(1-2x1)≥0.02.从而x1≥0.34． 因此.为了将含峰区间的长度缩短到0.34.只要取 x1＝0.34.x2＝0.66.x3=0.32． 4=kx+b的图象与x.y轴分别相交于点A.B,( .分别是与x.y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2-x-6. (1)求k.b的值; > g(x)时,求函数的最小值. [解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2. ,得x+2>x2-x-6,即<0, 得-2<x<4, ==x+2+-5 由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴的最小值是-3. 5,本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是Df.Dg的函数y=f, f 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h 当x∈Df且xDg g(x) 当xDf且x∈Dg =-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式; 中函数h(x)的最大值; , 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （04年北京卷理）（14分）

    f(x)是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f()且f(1)=1，在每个区间（i=1，2，…）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。

    （I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f()（i=1，2，…）的表达式；

    （II）设直线x=，x=，x轴及y=f(x)的图象围成的梯形的面积为ai  (i=1，2，…)，记S(k)=(a1+a2+…+an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。

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    （04年北京卷文）(14分)

    函数f(x)定义在[0,1]上,满足且f(1)=1,在每个区间=1,2,…)上, y=f(x) 的图象都是平行于x轴的直线的一部分.

    (Ⅰ)求f(0)及的值,并归纳出)的表达式;

    (Ⅱ)设直线轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为, 求a1,a2及的值.

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