(二)求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中.发现动点P的运动规律.即P点满足的等量关系.因此要学会动中求静.变中求不变. 来表示.若要判断轨迹方程表示何种——青夏教育精英家教网—

(二)求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中.发现动点P的运动规律.即P点满足的等量关系.因此要学会动中求静.变中求不变. 来表示.若要判断轨迹方程表示何种曲线.则往往需将参数方程化为普通方程. 3. 求出轨迹方程后.应注意检验其是否符合题意.既要检验是否增解.(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上).又要检验是否丢解.(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示).出现增解则要舍去.出现丢解.则需补充.检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. [典型例题] 例1. 轨迹方程. 分析:题中涉及了三个点A.B.M.其中A为定点.而B.M为动点.且点B的运动是有规律的.显然M的运动是由B的运动而引发的.可见M.B为相关点.故采用相关点法求动点M的轨迹方程. 解:设动点M的坐标为(x.y).而设B点坐标为(x0.y0) 则由M为线段AB中点.可得即点B坐标可表为例2. 点A的轨迹方程. 分析:先画出示意图.如图所示:根据已知条件:动椭圆过M(1.2)且以y轴为其准线.可见该椭圆位于y轴右侧.注意到点M在椭圆上.故联想到椭圆的几何性质:椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率.即可发现间接涉及动顶点A的等量关系.只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标.即可列出轨迹方程. 解: 又∵M在椭圆上. 例3. 过点P(2.4)作两条互相垂直的直线l1.l2.若l1交x轴于A点.l2交y轴于B点.求线段AB的中点M的轨迹方程. 分析1:设M(x.y).由已知l1⊥l2.联想到两直线垂直的充要条件:k1k2＝-1.即可列出轨迹方程.关键是如何用M点坐标表示A.B两点坐标.事实上.由M为AB的中点.易找出它们的坐标之间的联系. 解法1:设M(x.y).∵M为AB中点.∴A. 又l1.l2过点P(2.4).且l1⊥l2 ∴PA⊥PB.从而kPA·kPB＝-1. 注意到l1⊥x轴时.l2⊥y轴.此时A 中点M(1.2).经检验.它也满足方程x+2y-5＝0 综上可知.点M的轨迹方程为x+2y-5＝0. 分析2:解法1中在利用k1k2＝-1时.需注意k1.k2是否存在.故而分情形讨论.能否避开讨论呢?只需利用△PAB为直角三角形的几何特性: 解法2:设M.B. ∵l1⊥l2.∴△PAB为直角三角形化简.得x+2y-5＝0.此即M的轨迹方程. 分析3:从运动的角度观察发现.点M的运动是由直线l1引发的.可设出l1的斜率k作为参数.建立动点M坐标(x.y)满足的参数方程. 解法3:设M(x.y).设直线l1的方程为y-4＝k ∵M为AB的中点. 消去k.得x+2y-5＝0. 另外.当k＝0时.AB中点为M(1.2).满足上述轨迹方程, 当k不存在时.AB中点为M(1.2).也满足上述轨迹方程. 综上所述.M的轨迹方程为x+2y-5＝0. 例4. 已知定点A(2.0).点Q是圆x2+y2＝1的动点.∠AOQ的平分线交AQ于M.当Q点在圆上移动时.求动点M的轨迹方程. 分析1: 若设出M(x.y).则由分点坐标公式.可表示出点Q的坐标.因Q.M为相关点..可采用相关点法求点M的轨迹方程. 解法1:设M(x.y). ∵M在AQ上. . 分析2: 而当∠AOQ＝180°时.其角分线为y轴.它与AQ交点为原点O.显然.该点也满足上述轨迹方程. 注:此种解法为定义法. 例5. 如图.给出定点A与定直线l:x＝-1.点B是l上动点.∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程.并讨论方程表示的曲线类型与a值关系. 分析:由OC是∠AOB的平分线.可联想到如下结论: (1)点C到∠AOB的两边OA.OB的距离相等, (2)OC与OA.OB所成的角相等. 对于.若再注意到点C在直线AB上.则可求得轨迹方程.因此.本题从不同角度入手.则有不同解法. 解法1:设B.直线OB的方程为y＝-bx.即bx+y＝0. ∵OC平分∠AOB.∴点C到角的两边距离相等. 又∵点C在直线AB上.∴A.B.C三点共线把③代入④.得 y＝0时.b＝0.∠AOB＝180°.点C坐标为(0.0).满足上述方程. 故方程(a-1)x2-(a+1)y2+2ax＝0是点C的轨迹方程. 当a＝1时.方程为y2＝x..它表示抛物线的一段, ∴0<a<1时.轨迹为椭圆弧,a>1时.轨迹为双曲线弧. 解法2:设B ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC＝∠COB ∴tg∠AOC＝tg∠COB. 以下略. 解法3:设B ∵OC平分∠AOB.由三角形内角平分线性质.得整理.得(b2+1)·[(a+1)2+b2]＝a2[(x+1)2+(y-b)2] 以下略. [模拟试题] 1. 长为3a的线段AB的两端点A.B分别在y轴.x轴上运动.P点分线段AB或正比2:1.求点P的轨迹方程. 2. △ABC的顶点B.C 双曲线的焦点.点C在抛物线y＝4x2上运动.求△ABC的重心G的轨迹方程. 3. 自双曲线上的动点A引直线x+y＝2的垂线.垂足为B.求线段AB中点M的轨迹方程. 4. 已知定点A.P为动点.且∠PBA＝2∠PAB.求动点P的轨迹方程. 5. 以双曲线的右准线l为左准线.以双曲线的右焦点F为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B.求BF中点M的轨迹方程. 【查看更多】

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（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效)
已知的顶点A在射线上，、两点关于x轴对称，0为坐标原点，
且线段AB上有一点M满足当点A在上移动时，记点M的轨迹为W.
（Ⅰ）求轨迹W的方程;
（Ⅱ）设是否存在过的直线与W相交于P,Q两点，使得若存在，
求出直线；若不存在，说明理由.