设函数f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈（-1，2），x₂∈（2，+∞），则实数b的取值范围是（　　）

已知函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．

（2012•东城区模拟）已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-

a

4

x+

3

2

（a∈R）．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 当a≤0时，若任意给定的x₀∈[0，2]，在[0.2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使 得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量

OP

=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x-

16

3

在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．