如图，设点F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，直线l的方程为x=-

a2

c

，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆的C的标准方程；
（2）若过点P且斜率为

1

4

的直线AB与椭圆交于A、B两点，求弦长|AB|
（3）若过点P的直线AB与椭圆交于A、B 两点，求△ABF的面积的最大值．

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足AB⊥AF₂．且F₁为BF₂的中点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）D是过A，B，F₂三点的圆上的点，D到直线l：x-

3

y-3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

如图，F₁，F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-

1

2

将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

如图，F₁，F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF₂垂直于x轴，椭圆下顶点和右顶点分别为A、B，且OM∥AB，
（1）求椭圆的离心率；
（2）过F₂作于OM垂直的直线交椭圆于点P、Q，若，求椭圆的方程。