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    在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的.说明正弦定理.余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标.要求根据向量的关系解答相关的问题. [例6] 已知角A.B.C为△ABC的三个内角.其对边分别为a.b.c.若＝.a＝2.且·＝． (Ⅰ)若△ABC的面积S＝.求b+c的值． (Ⅱ)求b+c的取值范围． [分析] 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程.再利用二倍角公式求得A角.然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b.c的方程组求取b+c的值,第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式.进而求得b+c的范围. [解] .＝.且·＝. ∴-cos2+sin2＝.即-cosA＝. 又A∈.∴A＝. 又由S△ABC＝bcsinA＝.所以bc＝4. 由余弦定理得:a2＝b2+c2-2bc·cos＝b2+c2+bc.∴16＝(b+c)2.故b+c＝4. (Ⅱ)由正弦定理得:＝＝＝＝4.又B+C＝p-A＝. ∴b+c＝4sinB+4sinC＝4sinB+4sin. ∵0＜B＜.则＜B+＜.则＜sin(B+)≤1.即b+c的取值范围是(2.4]. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积.三角恒等变换及三角形中的正弦定理.余弦定理.面积公式.三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意:第(Ⅰ)小题中求b+c没有利用分别求出b.c的值为解.而是利用整体的思想.使问题得到简捷的解答,小题的求解中特别要注意确定角B的范围. [专题训练] 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题12分）

    如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．

    （I）求证：；

    （II）求二面角的余弦值；

    （III）在直线是否存在一点，使直线与面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．

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    如图是单位圆上的点，分别是圆与轴的两交点，为正三角形.

    （1）若点坐标为，求的值；

    （2）若，四边形的周长为，试将表示成的函数，并求出的最大值.

    【解析】第一问利用设 

    ∵  A点坐标为∴   ，

    （2）中 由条件知  AB=1，CD=2 ，

    在中，由余弦定理得 

      ∴ 

    ∵       ∴    ，

    ∴  当时，即 当 时 ， y有最大值5. .

     

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    如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=，CC1=，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E为棱AB的中点，F为CC1上的动点．
    （Ⅰ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
    （Ⅱ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF⊥BB1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
    （ III）当F为CC1的中点时，若AC≤CC1，且EF与平面ACC1A1所成的角的正弦值为，求二面角C-AA1-B的余弦值．

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    如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=
    		2
    ，CC1=
    		2
    ，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E为棱AB的中点，F为CC1上的动点．
    （Ⅰ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
    （Ⅱ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF⊥BB1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
    （ III）当F为CC1的中点时，若AC≤CC1，且EF与平面ACC1A1所成的角的正弦值为
    		2
    3
    ，求二面角C-AA1-B的余弦值．

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    已知三棱柱ABC－A1B1C1三视图如下图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，正、侧视图都是正方形，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点．

    (1)求异面直线BD与A1E所成角的余弦值；

    (2)在棱AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．

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