已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，点P(b，

a

2

)在椭圆上，其左、右焦点为F₁、F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若

PF1

•

PF2

=

1

2

，过点S(0，-

1

3

)的动直线l交椭圆于A、B两点，请问在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，已知椭圆C：x2+

y2

a2

=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=

a2-1

与椭圆C相交于P，Q两点，且满足

AP

•

AQ

=

a2(a+c)2-1

2-c2

．
（1）试用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），求m的取值范围．

（2012•枣庄二模）已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，

3

2

），椭圆C的焦点与曲线2

x

2

-2

y

2

=1的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定意的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

（2012•枣庄二模）已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，

3

2

），椭圆C的焦点与曲线2

x

2

-2

y

2

=1的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定点的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）问的条件下，求以线段MN为直径的圆的面积的最小值．

已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF₁F₂内一点G满足3

PG

=

PF1

+

PF2

，其中

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)．
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C短轴长为2

3

，过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若

AF2

=2

F2B

，求△F₁AB面积．