题型1:空间向量的概念及性质例1．有以下命题:①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底.那么的关系是不共线,②为空间四点.且向量不构成空间的一个基底.那么点一定共面,③已知向量是空间的一个基——青夏教育精英家教网—

题型1:空间向量的概念及性质例1．有以下命题:①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底.那么的关系是不共线,②为空间四点.且向量不构成空间的一个基底.那么点一定共面,③已知向量是空间的一个基底.则向量.也是空间的一个基底.其中正确的命题是 ①② ①③ ②③ ①②③ 解析:对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底.那么的关系一定共线 ,所以①错误.②③正确. 点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件.为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系例2．下列命题正确的是若与共线.与共线.则与共线, 向量共面就是它们所在的直线共面, 零向量没有确定的方向, 若.则存在唯一的实数使得, 解析:A中向量为零向量时要注意.B中向量的共线.共面与直线的共线.共面不一样.D中需保证不为零向量答案C. 点评:零向量是一个特殊的向量.时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质.要兼顾题型2:空间向量的基本运算例3．如图:在平行六面体中.为与的交点.若...则下列向量中与相等的向量是( ) 解析:显然, 答案为A. 点评:类比平面向量表达平面位置关系过程.掌握好空间向量的用途.用向量的方法处理立体几何问题.使复杂的线面空间关系代数化.本题考查的是基本的向量相等.与向量的加法.考查学生的空间想象能力例4．已知:且不共面.若∥,求的值. 解:∥,,且即又不共面, 点评:空间向量在运算时.注意到如何实施空间向量共线定理. 题型3:空间向量的坐标例5．(1)已知两个非零向量=(a1.a2.a3).=(b1.b2.b3).它们平行的充要条件是( ) A. :||=:|| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k.使=k (2)已知向量=.=.若||=6.⊥.则x+y的值是( ) A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( ) A. =.=.= B. =.=.= C. =.=.= D. =.=.= 解析:(1)D,点拨:由共线向量定线易知, (2)A 点拨:由题知或, (3)A 点拨:由共面向量基本定理可得点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线.垂直时参数的取值情况例6．已知空间三点A.C.设=.=.(1)求和的夹角,(2)若向量k+与k-2互相垂直.求k的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用.套用公式即可得到所要求的结果. 解:∵A.C.=.=. ∴=.=. (1)cos==-. ∴和的夹角为-. (2)∵k+=k＝. k-2=.且(k+)⊥(k-2). ∴=+k2-8=2k2+k-10=0. 则k=-或k=2. 点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做.(+)(k-2)=k22-k·-22=2k2+k-10=0.解得k=-.或k=2. 题型4:数量积例7如图.在四面体中.截面是正方形.则在下列命题中.错误的为 . . ∥截面 . . 异面直线与所成的角为答案:C [解析]由∥.∥.⊥可得⊥.故正确,由∥可得∥截面.故正确, 异面直线与所成的角等于与所成的角.故正确, 综上是错误的.故选. 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律例8．(1)设向量与的夹角为... 则． .解:设向量与的夹角为且∴.则=. (2)设空间两个不同的单位向量=(x1.y1.0).=(x2.y2.0)与向量=的夹角都等于.(1)求x1+y1和x1y1的值,(2)求<.>的大小(其中0＜<.>＜π. 解析 ∵||=||=1.∴x+y=1.∴x=y=1. 又∵与的夹角为.∴·=||||cos==. 又∵·=x1+y1.∴x1+y1=. 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1.∴2x1y1=()2-1=.∴x1y1=. (2)cos<.>==x1x2+y1y2.由(1)知.x1+y1=.x1y1=.∴x1.y1是方程x2-x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠.∴或 ∴cos<.>=·+·=+=. ∵0≤<.>≤π.∴<.>=. 评述:本题考查向量数量积的运算法则题型5:空间向量的应用例9．(1)已知a.b.c为正数.且a+b+c=1.求证:++≤4. (2)已知F1=i+2j+3k.F2=-2i+3j-k.F3=3i-4j+5k.若F1.F2.F3共同作用于同一物体上.使物体从点M1移到点M2.求物体合力做的功. 解析:(1)设=(..).=. 则||=4.||=. ∵·≤||·||. ∴·=++≤||·||=4. 当==时.即a=b=c=时.取“= 号. (2)解:W=F·s=(F1+F2+F3)·=14. 点评:若=.=.则由·≤||·||.得2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3).本题考查||·||≥·的应用.解题时要先根据题设条件构造向量..然后结合数量积性质进行运算.空间向量的数量积对应做功问题例10．如图,直三棱柱中,求证: 证明: 同理又设为中点,则又点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题.要用到空间多边形法则.向量的运算.数量积以及平行,相等和垂直的条件1.过△ABC的重心任作一直线分别交AB.AC于点D.E．若...则的值为( ) 2 (D)1 解析:取△ABC为正三角形易得＝3．选B．评析:本题考查向量的有关知识.如果按常规方法就比较难处理.但是用特殊值的思想就比较容易处理.考查学生灵活处理问题的能力．【查看更多】

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