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    2．能够合理.正确地求解有关问题 命题分析: 分类讨论是一种重要的逻辑方法.也是一种常用的数学方法.这可以培养学生思维的条理性和概括性.以及认识问题的全面性和深刻性.提高学生分析问题.解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中.尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况. 重点题型分析: 例1．解关于x的不等式: 解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)<0 (下面按两个根的大小关系分类) (1)当a>a2Þa2-a<0即 0<a<1时.不等式的解为 xÎ(a2, a). (2)当a<a2Þa2-a>0即a<0或a>1时.不等式的解为:xÎ(a, a2) (3)当a=a2Þa2-a=0 即 a=0或 a=1时.不等式为x2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 xÎÆ. 综上.当 0<a<1时.xÎ(a2, a) 当a<0或a>1时.xÎ(a,a2) 当a=0或a=1时.xÎÆ. 评述:抓住分类的转折点.此题分解因式后.之所以不能马上写出解集.主要是不知两根谁大谁小.那么就按两个根之间的大小关系来分类. 例2．解关于x的不等式 ax2+2ax+1>0 解:此题应按a是否为0来分类. (1)当a=0时.不等式为1>0, 解集为R. (2)a¹0时分为a>0 与a<0两类 ①时.方程ax2+2ax+1=0有两根 . 则原不等式的解为. ②时. 方程ax2+2ax+1=0没有实根.此时为开口向上的抛物线.则不等式的解为. ③ 时. 方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1.则原不等式的解为∪. ④时. 方程ax2+2ax+1=0有两根. 此时.抛物线的开口向下的抛物线.故原不等式的解为: . ⑤ 综上: 当0≤a<1时.解集为. 当a>1时.解集为. 当a=1时.解集为∪. 当a<0时.解集为. 例3．解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax 解:原不等式可化为Û ax2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时.x≤-1.即x∈(-∞,-1]. (2)a¹0时.不等式即为≥0. ① a>0时. 不等式化为. 当.即a>0时.不等式解为. 当.此时a不存在. ② a<0时.不等式化为. 当.即-2<a<0时.不等式解为 当.即a<-2时.不等式解为. 当.即a=-2时.不等式解为x=-1. 综上: a=0时.x∈. a>0时.x∈. -2<a<0时.x∈. a<-2时.x∈. a=-2时.x∈{x|x=-1}. 评述:通过上面三个例题的分析与解答.可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分, 20:若不分则无法确定任何一个结果, 30:若分的话.则按谁碍事就分谁. 例4．已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2.求实数a的取值. 解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5 令sinx=t, t∈[-1,1]. 则. (1)当即a>2时.t=1. 解方程得:(舍). (2)当时.即-2≤a≤2时.,, 解方程为:或a=4(舍). (3)当 即a<-2时. t=-1时.ymax=-a2+a+5=2 即 a2-a-3=0 ∴ , ∵ a<-2, ∴ 全都舍去. 综上.当时.能使函数f(x)的最大值为2. 例5．设{an}是由正数组成的等比数列.Sn是其前n项和.证明:. 证明:(1)当q=1时.Sn=na1从而 (2)当q≠1时.. 从而 由得:. ∵ 函数为单调递减函数.∴ . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0.求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程.不能确定其焦点位置.所以应分两种情况求解. 解:(1)当双曲线的焦点在直线y=3时.双曲线的方程可改为.一条渐近线的斜率为. ∴ b=2.∴ . (2)当双曲线的焦点在直线x=1时.仿(1)知双曲线的一条渐近线的斜率为.此时. 综上可知.双曲线的离心率等于. 评述:例5.例6.的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的.而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论. 例7．解关于x的不等式 . 解:原不等式 由(1) a=1时.x-2>0, 即 x∈. 由(2)a<1时..下面分为三种情况. ① 即a<1时.解为. ②时.解为Æ. ③ Þ 即0<a<1时.原不等式解为:. 由(3)a>1时.的符号不确定.也分为3种情况. ① Þ a不存在. ② 当a>1时.原不等式的解为:. 综上: a=1时.x∈. a<1时.x∈ a=0时.xÎÆ. 0<a<1时.x∈ a>1时.x∈. 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象.确定对象的全体, 20:确定分类标准.正确分类.不重不漏, 30:逐步进行讨论.获得结段性结记, 40:归纳总结.综合结记. 课后练习: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在利用线性规划求解有关应用问题时，有时候需要根据实际情况，最优解要求是整数．那么，怎样才能正确地得出整数解？

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    在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?

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    已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点T（p，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与抛物线交与P、Q，若l2与抛物线交与M、N，l1的斜率为k．某同学正确地已求出了弦PQ的中点为(
    p
    k2
    +p，
    p
    k
    )    ，请写出弦MN的中点
     
    ．

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    在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线
    x2
    m
    +
    y2
    n
    =1    的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（
    |sinA-sinB|
    |sinA-sinB|
    ）=sinC．

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    （1）若椭圆的方程是：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），它的左、右焦点依次为F1、F2，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点．在此条件下我们可以提出这样一个问题：“设△PF1F2的过P角的外角平分线为l，自焦点F2引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？”
    对该问题某同学给出了一个正确的求解，但部分解答过程因作业本受潮模糊了，我们在
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    这些模糊地方划了线，请你将它补充完整．
    解：延长F2Q 交F1P的延长线于E，据题意，
    E与F2关于l对称，所以|PE|=|PF2|．
    所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
     
    ，
    在△EF1F2中，显然OQ是平行于EF1的中位线，
    所以|OQ|=
    1
    2
    |EF1|=
     
    ，
    注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是
     
    ，
    其方程是：
     
    ．
    （2）如图2，双曲线的方程是：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F1、F2，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．请你试着提出与（1）类似的问题，并加以证明．

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