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    2．分类讨论举例 下面我们用分类讨论的思想方法来解决一些国内外数学竞赛问题. 例2 (第4届加拿大中学生竞赛题)设a和n是相异的实数.证明存在整数m和n使得am+bn＜0.bm+an＞0. 证明 既然a.b为相异实数.那么必有a-b＜0或a-b＞0. 当a-b＜0时.就取m=1.n=-1.验证和满足所给不等式, 当a-b＞0时.就取m=-1.n=1.显然也满足所给不等式. 例3 从1到100这一百个自然数中.每次取2个.要它们的和大于100.有多少种取法? 解 因为每次所取的两数不等.所以可以按较大的数的取值来分类考虑: 较大的数取100时.另一数有99种取法, 较大的数取99时.另一数有97种取法, -- 较大的数取51时.另一数有一种取法,而50以下的任何两数都不能组成符合条件的数对.故共有1+3+5-+97+99=2500种取法. 按照某个确定的自然数为模的剩余类分类是数学竞赛中经常出现的问题之一. 例4 求证:从任意n个整数a1.a2.-.an中.一定可以找到若干个数.使它们的和可被n整除. 证明 考察如下的n个和.a1.a1+a2.a1+a2+a3.-.a1+a2+-+an. 若其中至少有一个能被n的整除.则结论成立, 若其中没有一个能被n整除,则将他们按模n的剩余类至多可分为余数为1.余数为2.-.余数为n-1的n-1个类.因此,这几个整数中至少有两个整数a1+a2+-+ak和a1+a2+a3+ak+-+al对模n有相同的余数. 这时和数ak+1+-+al=(a1+a2+-+ak+-+a1)-(a1+a2+-+ak)显然可被n整除.即结论成立. 说明:本例通过分类制造“抽屉 .体现了分类思想有“抽屉原则 的完美结合. 在给定的几何条件下.由于图形的形状或位置不同含有不同的结果或需用不同的方法处理.这就引出了几何中的分类讨论问题. 例5 (1989年武汉.广州等五市初中数学联赛题)△ABC中.∠C=.BM是中线.AC=2a.若沿BM将三角形对折起来.那个两个小三角形ABM和BCM重叠部分的面积恰好等于△ABC面积的四分之一.试求△ABC的面积. 解①若原三角形中.∠ABM＞∠CBM.则对折后如图28-1.其中是对折后C点所落位置.△BMD是重叠部分.依题意得 ∴即D为AM的中点. 又 ∴D是BC的中点. 由∠ADB=∠MD知.△ABD≌△MD.∴AB=M=CM=.而∠ACB=.∴∠ABC=. 由AC=2a.可得AB=a.BC= ∴ (2)若原三角形中∠ABM＜∠CBM.对折后如图28-2.如上证明.可得D为AB.M的中点. ∴于是BC=B=a. 过B作△ABC的高BE.∵∠ACB=. ∴ ∴ (3)显然.∠ABM=∠CBM不合题意. 列6 设一条曲线的两端在单位正方形的周界上,并且这条曲线将正方形分成面积相等的两部分.证明这条曲线的长度不小于1. 证明 设曲线PQ分正方形ABCD为面积相等的两部分S1.S2.又M.N.E.F分别为正方形的边的中点.因的面积.故曲线PQ与线段MN.EF.AC.BD必各至少有一个公共点.现按P.Q的位置来分类讨论. 不失一般性.不妨设P在AB上.这时. ① Q在对边CD上.如上所述,曲线PQ与MN至少有一公共点,则PQ=PR+RQ≥PR+RQ≥MR+RN=MN=1.此时结论正确. ② Q在AB上.设曲线PQ与线段EF的一个公共点为R.以EF为对称轴作出PR的对称图形.则曲线PQ与曲线等长.由①知≥1.故PQ≥1.此时结论也正确. ③ Q在邻边BC或AD之一上.令曲线PQ与AC的一个公共点为R.以AC为对称轴作出RQ的对称图形.则曲线PQ与等长.由①知.此时结论亦成立. 综上述.对符合条件的任意位置的P.Q均有所述结论. 练习二十八 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    我们用min｛S1，S2，…，Sn｝和max｛S1，S2，…，Sn｝分别表示实数S1，S2，…，Sn中的最小者和最大者．

    (1)设f(x)＝min｛sinx，cosx｝，g(x)＝max｛sinx，cosx｝，x∈［0，2π］，函数f(x)的值域为A，函数g(x)的值域为B，求A∩B；

    (2)数学课上老师提出了下面的问题：设a1，a2，an为实数，x∈R，求函数(x1＜x2＜xn∈R＝的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值．学生甲得出的结论是：［f(x)］min＝min｛f(－2)，f(－1)，f(1)｝，且f(x)无最大值．学生乙得出的结论是：［g(x)］max＝max｛g(－1)，g(1)，g(2)｝，且g(x)无最小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；

    (3)试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明(如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明)．

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    我们用符号eiθ表示复数cosθ+isinθ，即eiθ=cosθ+isinθ（其中e是自然对数的底数，θ的单位是弧度），给出下面三个结论：
    ①2ei
    π
    2
    =2i    ；②
    eiθ+e-iθ
    2
    =sinθ    ；③eiπ+1=0．以上结论中，正确结论的序号是（　　）

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    我们用符号eiθ表示复数cosθ+isinθ，即eiθ=cosθ+isinθ（其中e是自然对数的底数，θ的单位是弧度），给出下面三个结论：
    ①数学公式；②数学公式；③eiπ+1=0．以上结论中，正确结论的序号是


    1. A.
      ①
    2. B.
      ①②
    3. C.
      ①③
    4. D.
      ②③

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    精英家教网我们用部分自然数构造如下的数表：用aij（i≥j）表示第i行第j个数（i、j为正整数），使ai1=aii=i；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为bn．
    （Ⅰ）试写出b2-2b1，b3-2b2，b4-2b3，b5-2b4，并推测bn+1和bn的关系（无需证明）；
    （Ⅱ）证明数列{bn+2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式bn；
    （Ⅲ）数列{bn}中是否存在不同的三项bp，bq，br（p、q、r为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出p、q、r的关系；若不存在，请说明理由．

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    （2012•梅州二模）一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．
    （1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
    （2）估计该社区居民月收人的平均数；
    （3）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
    907  966  191  925  271  932  812  458
    569  683  431  257  393  027  556  488
    730  113  537  989
    据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．

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