（2013•广州三模）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀使得对任意实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意的正整数n．有an=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n

)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较

4

3

Sn与T_n的大小关系，并给出证明．

已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{a_n}满足a1=f(0)且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N+)，
①求通项公式a_n的表达式；
②令bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试比较Sn与

4

3

Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

（2009•黄冈模拟）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对于任意正整数n，有an=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n

)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较

4

3

Sn与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

（2009•黄冈模拟）已知定义域在R上的单调函数，存在实数x₀，使得对于任意的实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（1）=1，且对于任意的正整数n，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1
（Ⅰ）若S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n；
（Ⅱ）若T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求T_n．