（2012•莆田模拟）已知函数f（x）=asinx-x+b（a＞0，b＞0）．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，a+b]内至少有一个零点；
（2）若函数f(x)在x=

π

3

处取得极值．
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx对任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求b的取值范围；
（ii）设△ABC的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且-

π

3

＜x1＜x2＜x3＜

π

3

，求证：f（sin²A+sin²C）＜f（sin²B）．

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e为自然对数的底数）
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，求a的最小值；
（III）若对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

（2012•南宁模拟）已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e为自然对数的底数）
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，求a的最小值．