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    单调性 例7 已知函数y=f(x)的定义域为R.对任意x∈R.均有f(x+x)=f(x)+f(x).且对任意x＞0.都有f(x)＜0.f(3)=-3． (1)证明函数y=f(x)是R上的单调减函数, (2)试求函数y=f(x)在[m.n](m.n∈Z且mn＜0＝上的值域． [分析]利用函数的单调性的定义证明,由(1)的结论可知f(m).f(n)分别是函数y=f(x)在[m.n]上的最大值与最小值.故求出f(m)与f(n)即可得所求函数的值域． [证明](1)任取..且＜..由题设f(x+x)=f(x)+f(x).可知.∵＜.∴-＞0.∴f(-)＜0, ∴＜.故y=f(x)是R上的单调减函数． (2)由于y=f(x)是R上的单调减函数.∴y=f(x)在[m.n]上也是单调递减函数.∴y=f(x)的最大值为f(m).最小值为f(n).∵f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=--=nf(1),同理f(m)= m f(1)． ∵f(3)=-3.∴f(3)=3 f(1) =-3.∴f(1)=-1.f(m)=-m.f(n)=-n.故函数y=f(x)在[m.n]上的值域为[-n .-m]． [点评]:对于抽象函数.往往通过研究函数的单调性确定其最值和值域,对抽象函数关系式中的变元取适当的值.求所需关系式或值.是解决抽象函数问题的常用技巧． 例8 若函数f(x)=|x-a|在内是减函数.求实数a的取值范围． [分析]本题采用数形结合的方法形象直观容易求a的取值范围． [解析]f(x)=|x-a|=.作出函数的图象.由于(-∞.a)内是减函数.而在内也是减函数.故是(-∞.a)的子区间． 因此a≥1． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数y=f(x)的定义域为［-1,1］,且f(1)=1,若a、b∈［-1,1］且a≠b,有＞0.

    (1)判断f(x)在［-1,1］上的单调性;

    (2)解不等式f(x+)＜f();

    (3)若f(x)≤m2-2am+1对于所有x∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立,求m的取值范围.

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    .设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有

    f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。

       （1）求f(1), f()的值；

       （2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；

       （3）一个各项均为正数的数列{a??n}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；

       （4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n·a1·a2…an≥M·.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.

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    .设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有
    f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。
    （1）求f(1), f()的值；
    （2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
    （3）一个各项均为正数的数列{a­n}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
    （4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n·a1·a2…an≥M·.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.

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    已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x，x′∈R，均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0都有f（x）＜0，f（3）=-3．
    （1）试证明：函数y=f（x）在R上是单调函数；
    （2）判断y=f（x）的奇偶性，并证明．
    （3）解不等式f（x+3）+f（4x）≤2．
    （4）试求函数y=f（x）在[m，n]（mn＜0且m，n∈R）上的值域．

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    已知函数y=f（x）的定义域为（-1，1），并且对一切x，y∈（-1，1）恒有f（x）+f（y）=f（x+y）；且当x＞0时，f（x）＜0；
    （1）判断该函数的奇偶性；
    （2）判断并证明该函数的单调性；
    （3）若f（1-m）+f（1-m2）＞0，求实数m的取值范围．

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