设函数f（x）=

2x+3

3x

（x＞0），数列{a_n}满足a1=1，an=f(

1

an-1

)（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列{a_n k}，k∈N^*，使得数列{a_n k}中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．

设函数g(x)=

x

+1，函数h(x)=

1

x+3

，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=

1

4

时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足

PA

•

PB

=4，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点．求
（Ⅰ）求点A、B的坐标；
（Ⅱ）求动点Q的轨迹方程．

设函数f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．
（Ⅰ）若函数y=

f(2x)

e

-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；
（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x₀，同时满足：（i）x₀是函数h（x）的零点；（ii）h′（x₀）=0．试确定x₀、n的值，并证明函数h（x）在R上为增函数．