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    4．等价转化的思想 数学问题中.已知条件是结论成立的保证.但有的问题已知条件和结论之间.距离比较大.难于解出.因此.如何将已知条件经过转化.逐步向需求结论靠拢.这就是解题过程中经常要做的工作.变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替.使得原条件中的隐含的因素显露出来.使各种关系明朗化.从而缩短已知条件和结论之间的距离.找出它们之间内在联系.以便应用数学规律.方法将问题予以解决. ［例］已知集合与,若为单元素集合.求实数的取值范围. ［解析］为单元素集合.等价于不等式组 有唯一一组解. 即.此方程在上有一实根或两相等实根.设 .且的图象与轴相切于区间上或与轴相交.且只能一个交点落在区间上.于是有 若 综上所述.实数的取值范围是或 ［点评］将集合问题转化为方程根的讨论问题.若利用求根公式解之.则较为繁锁.设.则方程在区间上有两相等的实根.等价于函数的图象与轴相切.且顶点落在区间上,这样.方程根的讨论问题就转化为二次函数图象与轴交点的讨论问题.从而问题得以解决. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知是等差数列，其前n项和为， 是等比数列，且 

    （I）求数列与的通项公式；

    （II）记求证：,。

    【考点定位】本小题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识.考查化归与转化的思想方法.考查运算能力、推理论证能力.

     

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    （2012•福建模拟）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
    组别 PM2.5（微克/立方米） 频数（天） 频率
    第一组 （0，15] 4 0.1
    第二组 （15，30] 12 0.3
    第三组 （30，45] 8 0.2
    第四组 （45，60] 8 0.2
    第三组 （60，75] 4 0.1
    第四组 （75，90） 4 0.1
    （Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
    （Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
    （Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

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    某校高三一次月考之后，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成如下频率分布表：
    组号 分组 频数 频率
    第一组 [90，100） 5 0.05
    第二组 [100，110） ① 0.35
    第三组 [110，120） 30 0.30
    第四组 [120，130） 20 ②
    第五组 [130，140） 10 0.1
    合计 100 1.00
    （1）请先根据上面的频率分布表．写出①，②处的数值；
    （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[90，100）的中点值是95）作为代表，试估计本次月考数学学科的平均分；
    （3）为了了解数学成绩在110分以上学生的思想状况，现决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生，并在这6名学生中再随机抽取2名由张老师负责面谈，求第三组至少有一名学生被张老师面谈的概率．

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    （2012•普陀区一模）给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：
    （i）a•
    b2+c2-a2
    2bc
    =b•
    a2+c2-b2
    2ac
    ?a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2）?（a2-b2）•c2=（a2-b2）（a2+b2）?c2=a2+b2
    故△ABC是直角三角形．
    （ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
    故△ABC是等腰三角形．
    综上可知，△ABC是等腰直角三角形．
    请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果
    等腰或直角三角形
    等腰或直角三角形
    ．

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    2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

    组别

    PM2.5（微克/立方米）

    频数（天）

    频率

    第一组

    (0,15]

    4

    0.1

    第二组

    (15,30]

    12

    0.3

    第三组

    (30,45]

    8

    0.2

    第四组

    (45,60]

    8

    0.2

    第三组

    (60,75]

    4

    0.1

    第四组

    (75,90)

    4

    0.1

    （Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

    （Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

    （Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．

     

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