若，函数的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围．

设函数，f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x+m，令F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴上方
（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围
（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

设函数，f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x+m，令F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴上方
（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围
（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．