本题满分12分)

如图,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,

BC＝4,,AA₁＝4,.点D是AB的中点．

    (1)求证：AC⊥BC₁；

 (2)求二面角的平面角的正切值.

 (本题满分12分)

如图,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,BC＝4,,AA₁＝4,.点D是AB的中点．

       (1)求证：AC⊥BC₁；

    (2)求二面角的平面角的正切值.

(本题满分12分) 如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，当为何值时，．

(本题满分12分) 如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长均为2,P是侧棱AA₁上任意一点.

(1)求证:B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直;

(2)当BC₁⊥B₁P时,求线段AP的长;

(3)在(2)的条件下,求二面角CB₁PC₁的大小.

(本题满分12分)如图，已知圆O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是圆O上半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D
与圆心分别在PC两侧.
（1）若，试将四边形OPDC的面积y表示成的函数；
（2）求四边形OPDC面积的最大值.