Question

(本题满分12分) 如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，当为何值时，．

Answer 1

（Ⅱ）    （Ⅲ）

解析:

(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，

所以   ………… 1分

因为是一个长方体，所以，而，所以，

所以．………………3分

因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，

可得．……………4分

(Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．……5分

因为，所以，所以就是与平面所成的角．……6分

因为，，所以．        ……7分

所以与平面所成的角的正切值为．                   ……8分

(Ⅲ)解：当时，．                             ……9分

当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，

所以．                                 ……10分

而，与在同一个平面内，所以．     ……11分

而，所以，

所以．                     ……12分

方法二、方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有，，，．……2分   

于是，，，所以，．……3分

所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．           ……4分

(Ⅱ)，所以，而平面的一个法向量为．…5分

所以．                            ……6分

所以与平面所成的角的正弦值为．                 ……7分

所以与平面所成的角的正切值为．                 ……8分

(Ⅲ)，所以，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为

．                                                   ……10分

若要使得，则要，即，解得．…11分

所以当时，．                               ……12分