已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F₂（2，0），且b=

3

a．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

已知常数a＞0，向量

c

=（0，a），

i

=（1，0），经过原点O以

c

+λ

i

，为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

A、x+3y-5=0

B、x+3y-15=0

C、x-3y+5=0

D、x-3y+15=0

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，

2

)且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．