例1. 空间四边形ABCD中.E为AD中点.F为B台点.求证:(+). 解题思路分析: 法一:利用多边形法则.找出与有关向量的等量关系.再对相关向量进行变换.达到题目要求. 例如:=++.=++ ∴ 2=+++++ ∵ E.F分别为AD.BC中点 ∴与为相反向量.+= 同理.+= ∴ 2=+.(+) 法二:构造基本三角形.利用加法定理例如:取AC中点G.则EGDC..FGAB. ∴=+=+=(+) 法三:选择适当基底.把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算例如:选基底{..} 则.=(+) ∴ =-=(+-) =(+) 说明:基底的选法是不唯一的.本题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法.还有一种常用选法是在空间任取一点O.以从点O出发的三条不共面的向量为基底. 例2.已知向量{..}中选哪一个向量.一定可以与向量=+.=-.构成空间的另一个基底? 解题思路分析:由空间向量基本定理可知.空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底 ∵ +. -与.构成平行四边形 ∴ +. -. .一定共面 ∴ 与不能与+.-构成基底 ∴ 与+.-可以构成空间的一个基底例3.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中.=.=.=.M.N.P.Q分别是A1D1.CC1.BC.A1D的中点.用基底{..}表示以下向量: (1) (2) (3) 解题思路分析: 利用多边形法则.或构造若干个相关的三角形 (1)=++=++ =++ 或者: =+=+++ (2)=()-) =-) =)=- (3)() = =++--=++ 说明:用基向量的线性组合去表示相关向量.是用向量知识研究几何问题的基础.在寻找线性组合的过程中.主要是以向量为边构造三角形或多边形. 若M为中点.则()是经常用到的重要公式. 例4.四面体ABCD中.AB⊥CD.AC⊥BD.求证:AD⊥BC. 解题思路分析: 首先将几何语言“翻译为向量语言.即已知·=0.·=0.求证:·=0 其次.选择适当的基底.沟通已知向量与未知向量之间的关系例如:途径一:选基底{..}.设=...则: =-.-.- ∵ · ∴ ·(-)=0 ∴ ·-·=0 ① ∵ · ∴ ·(-)=0 ∴·-·=0 ② ①-②得:·-·=0 ∴ ·(-)=0 ∴ · ∴ AD⊥BC 途径二:任取空间一点O.其基底{..} 设.. 则=-.- =- 再设则-.-.- ∵ · ∴(-)·(-)=0 ∴ ·-·-·+·=0 ① ∵ · ∴ ·-·-·+·=0 ② ①-②得: ·-·+·-·=0 ∴ ·(-)-·(-)=0 ∴(-)·(-)=0 ∴ ·=0 ∴ CB⊥AD 说明:由上述两种选基底的方法可知.由于基底的选择不同.向量运算的简繁程度也有所差异.因此.应学会选择适当的基底. 例5.P是正方形ABCD所在平面外一点.PA=PB=PC=PD=AB=m.若M.N分别在PA.BD上.且 (1) 求证:MN∥平面PBC (2) 求证:MN⊥AD (3) 求MN与PC所成角的大小解题思路分析: (1)根据共面向量定理.只需证明可以表示为..中任两个向量的线性组合.为此.必须选基底.再利用三角形法则.利用基底找到上述向量之间的线性关系.取基底{..}.设.=..则.-.- ∴ +-2 ∴ ++(++) ∴ (+)=+ ∴ 与.共面 ∴ 平面PBC ∴ MN∥平面PBC (2)只需证·.- ∵ ·(+)·(-)=(-)=(|-)=0 ∴ ⊥.MN⊥AD (4) 利用数量积公式的变形 ∵ ·=||·|| cos<,> ∴ cos<.>=(·)/(||·||) ∵ (+)2=(++2·) ·=||||cos<,>=m2cos ∴ (m2+m2+m2)= ∴ ||= 又∵ ·(+)·=(·+) = ∴ cos<.>=(·)/(||·||)= ∵ <.>∈[0.π] ∴ <.>=300 ∴ MN与PC成300角说明:由本例可以看出.用向量解决几何问题.重在问题运算.降低了对空间图形抽象思维的要求.显得简单.易于上手. 例6.PA⊥平面ABCD.ABCD为矩形.PA=AD.M.N分别是PC.AB中点.求证:MN⊥平面PCD. 解题思路分析: 只需证与..中任意两个向量的数量积等于0 选基底{..}.设.. 则=+. (+)=(++) ∴ -(++)=-- ∵ PA⊥平面ABCD ∴ PA⊥AB.PA⊥AD ∴ ·=0.·=0 又AB⊥AD ∴ ·=0 ∴ ·(--)·(-)=·+·=0 ·-(+)·(-)=-(-)=-(|-)=0 ∴ MN⊥CD.MN⊥PD 又MCD∩PD=D ∴ MN⊥平面PCD 说明:通过上述两例可以知道.三角形法则或多边形法则是向量运算的基础.因为用基底正确表示出相关向量是解决问题的关键一步. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别为BC、CD上的点，且CG=

CB，CH=

CD
求证：（1）E、F、G、H四点共面．
（2）三直线FH、EG、AC共点．

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空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是

平行

．

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空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是．

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空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是．