Question

空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别为BC、CD上的点，且CG=

1

3

CB，CH=

1

3

CD
求证：（1）E、F、G、H四点共面．
（2）三直线FH、EG、AC共点．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理、平行线分线段成比例的判定定理及共面的判定定理即可证明；
（2）利用分别位于两个相交平面的相交直线必相交于两个相交平面的交线上．

解答：解：（1）如图所示，
∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD；
∵G、H分别为BC、CD上的点，且CG=

1

3

CB，CH=

1

3

CD，∴

CG

CB

=

CH

CD

，
∴GH∥BD．
∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知：EF=

1

2

BD，GH=

1

3

BD，∴EF≠GH，因此EG与FH必相交，
设EG∩FH=P，∵EG?平面ABC，FH?平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
∴P∈AC，即三直线FH、EG、AC共点P．

点评：熟练掌握三角形中位线定理、平行线分线段成比例的判定定理及共面的判定定理是解题的关键．