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    例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ACB=900.∠BAC=300.BC=1.AA1=.M为CC1中点.求证:AB1⊥A1M. 解题思路分析: 因结论是线线垂直.可考虑用三垂线定理或逆定理 ∵ ∠ACB=900 ∴ ∠A1C1B1=900 即B1C1⊥C1A1 又由CC1⊥平面A1B1C1得:CC1⊥B1C1 ∴ B1C1⊥平面AA1C1C ∴ AC1为AB1在平面AA1C1C的射影 由三垂线定理.下证AC1⊥A1M即可 在矩形AA1C1C中.AC=A1C1=.AA1=CC1= ∵ . ∴ ∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1 ∴ ∠1=∠2 又∠2+∠3=900 ∴ ∠1+∠3=900­ ∴ AC1⊥A1M ∴ AB1⊥A1M 评注:利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线 例2.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a.在侧棱BB1上截取BD=.在侧棱CC1上截取CE=a.过A.D.E作棱柱的截面ADE 求证:平面ADE⊥平面ACC1A1. 解题思路分析: (1) 分别在三个侧面内求出△ADE的边长 AE=a.AD=a.DE= ∴ 截面ADE为等腰三角形 S= (2)∵ 底面ABC⊥侧面AA1C1C ∴ △ABC边AC上的高BM⊥侧面AA1C1C 下设法把BM平移到平面AED中去 取AE中点N.连MN.DN ∵ MNEC.BDEC ∴ MNBD ∴ DN∥BM ∴ DN⊥平面AA1C1C ∴ 平面ADE⊥平面AA1C1C 评注:解决第(2)问题的方法是证明面面垂直的一种典型途径.第一步先找到其中一个平面的垂线.第二步将直线平移到另一个平面中去.实际上.第二步就是要证明线面平行.如本题BM∥平面ADE.根据前面介绍的用线面平行的判定定理证明线面平行的方法.只要过BM作一平面与平面ADE相交.则BM必和交线平行.这里构造了辅助平面BDNM. 本题也可作出二面角的平面角.证明其大小为900 例3.斜三棱柱ABC-A1B1C1中.底面是边长为4cm的正三角形.侧棱AA1与底面两边AB.AC均成600的角.AA1=7 (1)求证:AA1⊥BC,(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的全面积,(3)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积,(4)求AA1到侧面BB1C1C的距离. 解题思路分析: (1) 设A1在平面ABC上的射影为0 ∵ ∠A1AB=∠A1AC ∴ O在∠BAC的平行线AM上 ∵ △ABC为正三角形 ∴ AM⊥BC 又AM为A1A在平面ABC上的射影 ∴ A1A⊥BC (2) ∵ B1B∥A1A ∴ B1B⊥BC.即侧面BB1C1C为矩形 ∴ 又 ∴ S全= (3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB ∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO= ∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ (4)把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离 为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影.首先要找到侧面BB1C1C的垂面 设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1 ∵ BC⊥AM.BC⊥A1A ∴ BC⊥平面AA1M1M ∴ 平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1 在平行四边形AA1M1M中 过A1作A1H⊥M1M.H为垂足 则A1H⊥侧面BB1C1C ∴ 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离 ∴ 例4.平面α内有半径为R的⊙O.过直径AB的端点A作PA⊥α.PA=a.C是⊙O上一点.∠CAB=600.求三棱锥P-OBC的侧面积. 解题思路分析: 三棱锥P-OBC的侧面由△POB.△POC.△PBC三个三角形组成 在求出边长元素后.求三角形面积时.应注意分析三角形的形状.简化计算 ∵ PA⊥平面ABC ∴ PA⊥AO.AC为PC在平面ABC上的射影 ∵ BC⊥AC ∴ BC⊥PC △ POB中. △ PBC中.BC=ABsin600=2a ∴ AC=a ∴ PC= ∴ △ POC中.PO=PC=.OC=a ∴ ∴ S侧= 例5.四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形.∠BAD=1200.VA⊥底面ABCD.VA=3.AC与BD交于O.求点V到BD的距离,(3)作OF⊥VC.垂足为F.证明OF是BD与VC的公垂线段,(4)求异面直线BD与VC间的距离. 解题思路分析: (1) 用三垂线定理作点到线的垂线 在平面ABCD内作AE⊥CD.E为垂足 ∵ VA⊥平面ABCD ∴ AE为VE在平面ABCD上的射影 ∴ VE⊥CD ∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离 ∵ ∠BAD=1200 ∴ ∠ADC=600 ∴ △ACD为正三角形 ∴ E为CD中点.AE= ∴ VE= (2)∵ AO⊥BD ∴ 由三垂线定理VO⊥BD ∴ VO长度为V到直线BD距离 VO= (3)只需证OF⊥BD ∵ BD⊥HC.BD⊥VA ∴ BD⊥平面VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线 (4)求出OF长度即可 在Rt△VAC中 OC=AC=2.VC= ∴ OF=OC·sin∠ACF=OC· 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=
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    ，D是侧棱CC1上一点，且BD与底面所成角为30°．
    （1）求点D到AB所在直线的距离．
    （2）求二面角A1-BD-B1的度数．

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    （2011•河北区一模）已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=
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    ，A1A=
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    ．
    （Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；
    （Ⅱ）求二面角A-A1C-D的余弦值．

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    （2012•梅州二模）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示
    （1）求此三棱柱的体积和表面积；
    （2）画出此三棱柱，并证明：AC1⊥AB1．

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    已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，DEF分别为B1A，C1C，BC的中点．
    （1）求证：DE∥平面ABC；
    （2）求证：B1F⊥平面AEF；
    （3）求E到平面AB1F的距离．

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    （2013•渭南二模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC=BC=2，AA1=4．
    （1）当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；
    （2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由．

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