（本小题满分16分）

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

(1)设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

(2)已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

（本小题满分16分）

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。

（3）试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明。

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。

（1）判断函数是否为“性质函数”？说明理由；

（2）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；

（3）已知函数与的图像有公共点，求证：为“1性质函数”。

（满分16分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件时，称为“友谊函数”，

[1] 对任意的，总有；  [2] ；

[3] 若，，且，则有成立。

请解答下列各题：

(1)若已知为“友谊函数”，求的值；

(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.

(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.