如图，已知动直线经过点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为.

（1）证明：

（2）当时，是否存在垂直于轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

（本题满分12分）

如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．

如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.

（Ⅰ）求关于的函数关系式？

（Ⅱ）求圆柱形罐子体积的最大值.

设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．

（1）求的值；

（2）试判断圆与轴的位置关系；

（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

   （I）设是的中点，证明：平面；

   （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．