1、什么样的情形我们也可以处理成完全非弹性碰撞？

3.圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速直线运动的过程。

设圆盘离开桌布后在桌面上作匀减速运动，以a2表示加速度的大小，运动x2后便停下，由牛顿第二定律：

μ2mg＝ma2　　　　　　 ⑥

由运动学知识：

v12=2a2 x2　　　　　　　 ⑦

盘没有从桌面上掉下的条件是：

x2≤L-x1　　　　　 ⑧

由以上各式解得：

≥　　 ⑨

[总结]此解题方法是运用了最基本的牛顿第二定律和运动学知识来解决这一复杂物理过程的，其实题目再复杂，也是用最基本的基础知识来求解的。当然，也可以从动能定理、动量定理、功能关系或v-t图象等角度求解。

(3)突破难点3

第3个难点也应属于思维上有难度的知识点。对于匀速运动的传送带传送初速为零的物体，传送带应提供两方面的能量，一是物体动能的增加，二是物体与传送带间的摩擦所生成的热(即内能)，有不少同学容易漏掉内能的转化，因为该知识点具有隐蔽性，往往是漏掉了，也不能在计算过程中很容易地显示出来，尤其是在综合性题目中更容易疏忽。突破方法是引导学生分析有滑动摩擦力做功转化为内能的物理过程，使“只要有滑动摩擦力做功的过程，必有内能转化”的知识点在学生头脑中形成深刻印象。

一个物体以一定初速度滑上一粗糙平面，会慢慢停下来，物体的动能通过物体克服滑动摩擦力做功转化成了内能，当然这个物理过程就是要考查这一个知识点，学生是绝对不会犯错误的。

质量为M的长直平板，停在光滑的水平面上，一质量为m的物体，以初速度v0滑上长板，已知它与板间的动摩擦因数为μ，此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动，长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动，最终二者将达到共同速度。其运动位移的关系如图2-9所示。

该过程中，物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用力，

W物＝-μmg·x物

W板＝μmg·x板

很显然x物＞x板，滑动摩擦力对物体做的负功多，对长板做的正功少，那么物体动能减少量一定大于长板动能的增加量，二者之差为ΔE=μmg(x物-x板)=μmg·Δx，这就是物体在克服滑动摩擦力做功过程中，转化为内能的部分，也就是说“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”记住这个结论，一旦遇到有滑动摩擦力存在的能量转化过程就立即想到它。

再来看一下这个最基本的传送带问题：

物体轻轻放在传送带上，由于物体的初速度为0，传送带以恒定的速度运动，两者之间有相对滑动，出现滑动摩擦力。作用于物体的摩擦力使物体加速，直到它的速度增大到等于传送带的速度，作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势，但由于电动机的作用，保持了传送带的速度不变。尽管作用于物体跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的，但物体与传送带运动的位移是不同的，因为两者之间有滑动。如果物体的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t，则在这段时间内物体运动的位移小于传送带运动的位移。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对物体做的功(这功转变为物体的动能)，两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。

例8：如图2-11所示，水平传送带以速度匀速运动，一质量为的小木块由静止轻放到传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量是多少？

　　　　　　　　　 [审题]该题首先得清楚当小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量应该怎么来求，要想到用“物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。”这一结论，然后再根据物体和传送带的运动情况来求二者相对滑动的距离。

[解析]

在木块从开始加速至与传送带达到共同速度的过程中

　 　　　　由公式

　　 　　　可得：

　　 　　从木块静止至木块与传送带达到相对静止的过程中木块加速运动的时间

　　 传送带运动的位移

　　 　　木块相对传送带滑动的位移

　　 　　摩擦产生的热：

[总结]单独做该题目时，就应该有这样的解题步骤，不过，求相对位移时也可以物体为参考系，用传送带相对物体的运动来求。在综合性题目中用到该过程时，则直接用结论即可。该结论是：从静止放到匀速运动的传送带上的物体，在达到与传送带同速的过程中，转化为内能的能量值和物体增加的动能值相等。因为物体在该过程中的对地位移与传送带相对物体的位移大小是相等的。

例9：如图2-13所示，倾角为37º的传送带以4m/s的速度沿图示方向匀速运动。已知传送带的上、下两端间的距离为L=7m。现将一质量m=0.4kg的小木块放到传送带的顶端，使它从静止开始沿传送带下滑，已知木块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，取g=10m/s2。求木块滑到底的过程中，摩擦力对木块做的功以及生的热各是多少？

[审题]该题目要分成两段考虑，第一段：木块的速度v<v0。这一阶段木块相对于传送带向后运动，受到的摩擦力方向向前，合外力沿斜面向前；第二段：木块的速度v>v0。这一阶段木块相对于传送带向前运动，受到的摩擦力方向向后，合外力仍沿斜面向前。

[解析]刚开始时，合力的大小为

　　　 F合1＝mgsin37º+μmgcos37º,

由牛顿第二定律，加速度大小

a1＝＝8m/s2，

该过程所用时间

　　　　　　　　 t1＝＝0.5s，

位移大小　

s1＝＝1m。

二者速度大小相同后，合力的大小为

F合2＝mgsin37º－μmgcos37º,

加速度大小

a2＝＝4m/s2，

位移大小　

s2＝ L-s1＝ 6m,

所用时间　

s2＝ v0t2+

得： t2＝1s。

(另一个解t2＝－3s舍去)

摩擦力所做的功　

W＝μmgcos37º·(s1-s2) ＝－4.0J，

　　　　　 全过程中生的热　　

Q＝f·s相对

　 　　　　　　　＝μmgcos37º·[(v0t1-s1)+(s2-v0t2)]

　 　　　　　　　＝0.8N×3m＝2.4J。

[总结]该题目的关键在于分析清楚物理过程，分成两段处理，正确分析物体受力情况，求出物体和传送带的位移，以及物体和传送带间的相对位移。

例10：一传送带装置示意如图2-14，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率。

[审题]小货箱放在传送带的AB段上时，由于货箱的初速度为0，传送带以恒定的速度运动，两者之间有相对滑动，出现滑动摩擦力。作用于货箱的摩擦力使货箱加速，直到它的速度增大到等于传送带的速度，作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势，但由于电动机的作用，保持了传送带的速度不变。尽管作用于货箱跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的，但小货箱与传送带运动的路程是不同的，因为两者之间有滑动。如果货箱的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为t，则在这段时间内货箱运动的路程和传送带运动的路程分别是解答中的①式和③式，两者大小不同，由解答中的④式给出。在这段时间内，传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对货箱做的功(这功转变为货箱的动能)，两者之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功，归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程中所提供的。这也就是在传送带的水平段上使一只小货箱从静止到跟随传送带一起以同样速度运动的过程中，电动机所做的功，这功一部分转变为货箱的动能，一部分因摩擦而发热。当货箱的速度与传送带速度相等后，只要货箱仍在传送带的水平段上，电动机无需再做功。为了把货箱从C点送到D点，电动机又要做功，用于增加货箱的重力势能mgh。由此便可得到输送N只货箱的过程中电动机输出的总功。

以上分析都是在假定已知传送带速度的条件下进行的，实际上传送带的速度是未知的。因此要设法找出。题中给出在时间T内运送的小货箱有N只，这是说，我们在D处计数，当第1只货箱到达D处时作为时刻t=0，当第N只货箱到达D处时恰好t=T。如果把这N只货箱以L的距离间隔地排在CD上(如果排得下的话)，则第N只货箱到D处的距离为(N-1)L，当该货箱到达D处，即传送带上与该货箱接触的那点在时间T内运动到D点，故有。由此便可求出，电动机的平均功率便可求得。由于N很大，N与N－1实际上可视作相等的。

　[解析]以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为，在水平段的运输过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，直到其速度与传送带的速度相等。设这段路程为s，所用的时间为t，加速度为a，则对小货箱有

　　　　　 ①

　 ②

在这段时间内传送带运动的路程为

③

由上可得

　　 ④

用Ff表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小货箱做功为

　　 ⑤

传送带克服小货箱对它的摩擦力做功

　　　 ⑥

两者之差就克服摩擦力做功发出的热量

　　　 ⑦

可见，在小货箱加速过程中，小货箱获得的动能与发热量相等。

T时间内电动机输出的功为

　 ⑧

此功用于增加N个小货箱的动能、势能和使小货箱加速时程中克服摩擦力发 的热，即有　　

　　　　 ⑨

N个小货箱之间的距离为(N－1)L，它应等于传送带在T时间内运动的距离，即有

　　 ⑩

因T很大，故N亦很大。

联立⑦、⑧、⑨、⑩，得

[总结]本题初看起来比较复杂，关于装置的描述也比较冗长．看来对于实际的问题或比较实际的问题，冗长的描述是常有的。要通过对描述的研究，抓住关键，把问题理想化、简单化，这本身就是一种分析问题、处理问题的能力。通过分析，可以发现题中传送带的水平段的作用是使货箱加速，直到货箱与传送带有相同的速度。使货箱加速的作用力来自货箱与传送带之间的滑动摩擦力。了解到这一点还不够，考生还必须知道在使货箱加速的过程中，货箱与传送带之间是有相对滑动的，尽管传送带作用于货箱的摩擦力跟货箱作用于传送带的摩擦力是一对作用力与反作用力，它们大小相等，方向相反，但在拖动货箱的过程中，货箱与传送带移动的路程是不同的。因此作用于货箱的摩擦力做的功与传送带克服摩擦力做的功是不同的。如果不明白这些道理，就不会分别去找货箱跟传送带运动的路程。虽然头脑中存有匀变速直线运动的公式，但不一定会把它们取出来加以使用。而在这个过程中，不管货箱获得的动能还是摩擦变的热，这些能量最终都来自电动机做的功。

传送带的倾斜段的作用是把货箱提升h高度。在这个过程中，传送带有静摩擦力作用于货箱，同时货箱还受重力作用，这两个力对货箱都做功，但货箱的动能并没有变化。因为摩擦力对货箱做的功正好等于货箱克服重力做的功，后者增大了货箱在重力场中的势能。同时在这个过程中传送带克服静摩擦力亦做功，这个功与摩擦力对货箱做的功相等，因为两者间无相对滑动。所以货箱增加的重力势能亦来自电动机。

有的同学见到此题后，不知从何下手，找不到解题思路和解题方法，其原因可能是对涉及的物理过程以及过程中遇到的一些基本概念不清楚造成的。求解物理题，不能依赖于套用解题方法，不同习题的解题方法都产生于对物理过程的分析和对基本概念的正确理解和应用。

2.桌布从突然以恒定加速度a开始抽动至圆盘刚离开桌布这段时间内做匀加速运动的过程。

设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x1，

由运动学知识：

x =at2　　　　　　 ③

x1=a1t2　　　　　　 ④

而x=L+x1　　　　　　　　　　 ⑤

(1)突破难点1

在以上三个难点中，第1个难点应属于易错点，突破方法是先让学生正确理解摩擦力产生的条件、方向的判断方法、大小的决定因素等等。通过对不同类型题目的分析练习，让学生做到准确灵活地分析摩擦力的有无、大小和方向。

摩擦力的产生条件是：第一，物体间相互接触、挤压； 第二，接触面不光滑； 第三，物体间有相对运动趋势或相对运动。

前两个产生条件对于学生来说没有困难，第三个条件就比较容易出问题了。若物体是轻轻地放在了匀速运动的传送带上，那么物体一定要和传送带之间产生相对滑动，物体和传送带一定同时受到方向相反的滑动摩擦力。关于物体所受滑动摩擦力的方向判断有两种方法：一是根据滑动摩擦力一定要阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，先判断物体相对传送带的运动方向，可用假设法，若无摩擦，物体将停在原处，则显然物体相对传送带有向后运动的趋势，因此物体要受到沿传送带前进方向的摩擦力，由牛顿第三定律，传送带要受到向后的阻碍它运动的滑动摩擦力；二是根据摩擦力产生的作用效果来分析它的方向，物体只所以能由静止开始向前运动，则一定受到向前的动力作用，这个水平方向上的力只能由传送带提供，因此物体一定受沿传送带前进方向的摩擦力，传送带必须要由电动机带动才能持续而稳定地工作，电动机给传送带提供动力作用，那么物体给传送带的就是阻力作用，与传送带的运动方向相反。

若物体是静置在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，若物体与传送带之间的动摩擦因数较大，加速度相对较小，物体和传送带保持相对静止，它们之间存在着静摩擦力，物体的加速就是静摩擦力作用的结果，因此物体一定受沿传送带前进方向的摩擦力；若物体与传送带之间的动摩擦因数较小，加速度相对较大，物体和传送带不能保持相对静止，物体将跟不上传送带的运动，但它相对地面仍然是向前加速运动的，它们之间存在着滑动摩擦力，同样物体的加速就是该摩擦力的结果，因此物体一定受沿传送带前进方向的摩擦力。

　　 若物体与传送带保持相对静止一起匀速运动，则它们之间无摩擦力，否则物体不可能匀速运动。

若物体以大于传送带的速度沿传送带运动方向滑上传送带，则物体将受到传送带提供的使它减速的摩擦力作用，直到减速到和传送带有相同的速度、相对传送带静止为止。因此该摩擦力方向一定与物体运动方向相反。

若物体与传送带保持相对静止一起匀速运动一段时间后，开始减速，因物体速度越来越小，故受到传送带提供的使它减速的摩擦力作用，方向与物体的运动方向相反，传送带则受到与传送带运动方向相同的摩擦力作用。

若传送带是倾斜方向的，情况就更为复杂了，因为在运动方向上，物体要受重力沿斜面的下滑分力作用，该力和物体运动的初速度共同决定相对运动或相对运动趋势方向。

例1：如图2-1所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传送带从A→B的长度L=16m，则物体从A到B需要的时间为多少？

[审题]传送带沿逆时针转动，与物体接触处的速度方向斜向下，物体初速度为零，所以物体相对传送带向上滑动(相对地面是斜向下运动的)，因此受到沿斜面向下的滑动摩擦力作用，这样物体在沿斜面方向上所受的合力为重力的下滑分力和向下的滑动摩擦力，因此物体要做匀加速运动。当物体加速到与传送带有相同速度时，摩擦力情况要发生变化，同速的瞬间可以看成二者间相对静止，无滑动摩擦力，但物体此时还受到重力的下滑分力作用，因此相对于传送带有向下的运动趋势，若重力的下滑分力大于物体和传送带之间的最大静摩擦力，此时有μ＜tanθ，则物体将向下加速，所受摩擦力为沿斜面向上的滑动摩擦力；若重力的下滑分力小于或等于物体和传送带之间的最大静摩擦力，此时有μ≥tanθ，则物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。也可能出现的情况是传送带比较短，物体还没有加速到与传送带同速就已经滑到了底端，这样物体全过程都是受沿斜面向上的滑动摩擦力作用。

[解析]物体放上传送带以后，开始一段时间，其运动加速度。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到10m/s为止，其对应的时间和位移分别为：

＜16m　

以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，其加速度大小为(因为mgsinθ＞μmgcosθ)。

。

设物体完成剩余的位移所用的时间为，

则，

11m=

解得：

所以：。

　[总结]该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，若μ＞0.75，

第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动；若L＜5m，物体将一直加速运动。因此，在解答此类题目的过程中，对这些可能出现两种结果的特殊过程都要进行判断。

例2：如图2-2所示，传送带与地面成夹角θ=30°，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.6，已知传送带从A→B的长度L=16m，则物体从A到B需要的时间为多少？

[审题]该题目的物理过程的前半段与例题1是一样的，但是到了物体和传送带有相同速度时，情况就不同了，经计算，若物体和传送带之间的最大静摩擦力大于重力的下滑分力，物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。

[解析]物体放上传送带以后，开始一段时间，其运动加速度。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到10m/s为止，其对应的时间和位移分别为：

＜16m　

以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，其加速度大小为零(因为mgsinθ＜μmgcosθ)。

设物体完成剩余的位移所用的时间为，

则，

16m－5.91m=

解得：

所以：。

　[总结]该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，μ＞tanθ=，第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动。

例3：如图2-3所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传送带从A→B的长度L=5m，则物体从A到B需要的时间为多少？

[审题]该题目的物理过程的前半段与例题1是一样的，

由于传送带比较短，物体将一直加速运动。

[解析]物体放上传送带以后，开始一段时间，其运动加速度。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到10m/s为止，其对应的时间和位移分别为：

此时物休刚好滑到传送带的低端。

所以：。

　[总结]该题目的关键就是要分析好第一阶段的运动位移，看是否还要分析第二阶段。

例题4：如图2-4所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s的速度顺时针转动，在传送带下端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.9，已知传送带从A→B的长度L=50m，则物体从A到B需要的时间为多少？

[审题]传送带沿顺时针转动，与物体接触处的速度方向斜向上，物体初速度为零，所以物体相对传送带向下滑动(相对地面是斜向上运动的)，因此受到沿斜面向上的滑动摩擦力作用，这样物体在沿斜面方向上所受的合力为重力的下滑分力和向上的滑动摩擦力，因此物体要向上做匀加速运动。当物体加速到与传送带有相同速度时，摩擦力情况要发生变化，此时有μ≥tanθ，则物体将和传送带相对静止一起向上匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。

[解析]物体放上传送带以后，开始一段时间，其运动加速度。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到10m/s为止，其对应的时间和位移分别为：

＜50m　

以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，其加速度大小为零(因为mgsinθ＜μmgcosθ)。

设物体完成剩余的位移所用的时间为，

则，

50m－41.67m=

解得：

所以：。

　[总结]该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，并对物体加速到与传送带有相同速度时，是否已经到达传送带顶端进行判断。

本题的一种错解就是：

　　　　　　　　 所以：=9.13s

该时间小于正确结果16.66s，是因为物体加速到10m/s时，以后的运动是匀速运动，而错误结果是让物体一直加速运动，经过相同的位移，所用时间就应该短。

(2)突破难点2

第2个难点是对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动，判断错误。该难点应属于思维上有难度的知识点，突破方法是灵活运用“力是改变物体运动状态的原因”这个理论依据，对物体的运动性质做出正确分析，判断好物体和传送带的加速度、速度关系，画好草图分析，找准物体和传送带的位移及两者之间的关系。

学生初次遇到“皮带传送”类型的题目，由于皮带运动，物体也滑动，就有点理不清头绪了。

解决这类题目的方法如下：选取研究对象，对所选研究对象进行隔离处理，就是一个化难为简的好办法。对轻轻放到运动的传送带上的物体，由于相对传送带向后滑动，受到沿传送带运动方向的滑动摩擦力作用，决定了物体将在传送带所给的滑动摩擦力作用下，做匀加速运动，直到物体达到与皮带相同的速度，不再受摩擦力，而随传送带一起做匀速直线运动。传送带一直做匀速直线运动，要想再把两者结合起来看，则需画一运动过程的位移关系图就可让学生轻松把握。

如图2-5甲所示，A、B分别是传送带上和物体上的一点，刚放上物体时，两点重合。设皮带的速度为V0，物体做初速为零的匀加速直线运动，末速为V0，其平均速度为V0/2，所以物体的对地位移x物=， 传送带对地位移x传送带=V0t，所以A、B两点分别运动到如图2-5乙所示的A＇、B＇位置，物体相对传送带的位移也就显而易见了，x物=，就是图乙中的A＇、B＇间的距离，即传送带比物体多运动的距离，也就是物体在传送带上所留下的划痕的长度。

例题5：在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。 设传送带匀速前进的速度为0.25m/s，把质量为5kg的木箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，木箱以6m/s2的加速度前进，那么这个木箱放在传送带上后，传送带上将留下一段多长的摩擦痕迹？

[审题]传送带上留下的摩擦痕迹，就是行李在传送带上滑动过程中留下的，行李做初速为零的匀加速直线运动，传送带一直匀速运动，因此行李刚开始时跟不上传送带的运动。当行李的速度增加到和传送带相同时，不再相对滑动，所以要求的摩擦痕迹的长度就是在行李加速到0.25m/s的过程中，传送带比行李多运动的距离。

[解析]

解法一：行李加速到0.25m/s所用的时间：

t＝＝＝0.042s

行李的位移：

　　　 x行李＝＝=0.0053m

传送带的位移：

x传送带＝V0t＝0.25×0.042m＝0.0105m

摩擦痕迹的长度：

(求行李的位移时还可以用行李的平均速度乘以时间，行李做初速为零的匀加速直线运动，。)

解法二：以匀速前进的传送带作为参考系．设传送带水平向右运动。木箱刚放在传送带　　　

　　　 上时，相对于传送带的速度v=0.25m/s,方向水平向左。木箱受到水平向右的摩　

　　　 擦力F的作用，做减速运动，速度减为零时，与传送带保持相对静止。

木箱做减速运动的加速度的大小为

a＝6m/s2

木箱做减速运动到速度为零所通过的路程为

即留下5mm长的摩擦痕迹。

[总结]分析清楚行李和传送带的运动情况，相对运动通过速度位移关系是解决该类问题的关键。

例题6：一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点)，煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

　[审题]本题难度较大，传送带开始阶段也做匀加速运动了，后来又改为匀速，物体的运动情况则受传送带的运动情况制约，由题意可知，只有μg＜a0才能相对传送带滑动，否则物体将与传送带一直相对静止。因此该题的重点应在对物体相对运动的情景分析、相对位移的求解上，需要较高的分析综合能力。

[解析]

方法一：

根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿运动定律，可得

设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静止加速到v，有

由于a<a0，故v<v0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t'，煤块的速度由v增加到v0，有

此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。

设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有

传送带上留下的黑色痕迹的长度

由以上各式得　　

[小结]本方法的思路是整体分析两物体的运动情况，分别对两个物体的全过程求位移。

方法二：

第一阶段：传送带由静止开始加速到速度v0，设经历时间为t，煤块加速到v，有

v　　　　　　　　　　 　　　　 ①

v 　　　　　　　　②

传送带和煤块的位移分别为s1和s2，

　　　　　　　　 ③

　　　　 ④

第二阶段：煤块继续加速到v0，设经历时间为，有

v　　　　　　　　 ⑤

传送带和煤块的位移分别为s3和s4 ，有

　　　　　 　　　　　⑥

　　　　　　 ⑦

传送带上留下的黑色痕迹的长度

由以上各式得

[小结]本方法的思路是分两段分析两物体的运动情况，分别对两个物体的两个阶段求位移，最后再找相对位移关系。

方法三：

传送带加速到v0 ，有　　　 　　　　　①

传送带相对煤块的速度　　　　 　　②

传送带加速过程中，传送带相对煤块的位移[相对初速度为零，相对加速度是]

传送带匀速过程中，传送带相对煤块的位移[相对初速度为t，相对加速度是]

整个过程中传送带相对煤块的位移即痕迹长度

　 　③

由以上各式得

[小结]本方法的思路是用相对速度和相对加速度求解。关键是先选定好过程，然后对过程进行分析，找准相对初末速度、相对加速度。

方法四：用图象法求解

画出传送带和煤块的V-t图象，如图2-6所示。

其中，，

黑色痕迹的长度即为阴影部分三角形的面积，有：

[小结]本方法的思路是运用在速度-时间图象中，图线与其所对应的时间轴所包围图形的面积可以用来表示该段时间内的位移这个知识点，来进行求解，本方法不是基本方法，不易想到，但若能将它理解透，做到融会贯通，在解决相应问题时，就可以多一种方法。

[总结]本题题目中明确写道：“经过一段时间，煤块在传送带上留下一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。”这就说明第一阶段传送带的加速度大于煤块的加速度。当传送带速度达到时，煤块速度，此过程中传送带的位移大于煤块的位移。接下来煤块还要继续加速到，传送带则以做匀速运动。两阶段的物体位移之差即为痕迹长度。

有的学生对此过程理解不深，分析不透，如漏掉第二阶段只将第一阶段位移之差作为痕迹长度；将煤块两阶段的总位移作为痕迹长度；用第一阶段的相对位移与第二阶段的煤块位移之和作为痕迹长度；还有的学生分三种情况讨论；有的甚至认为煤块最终减速到零，这些都说明了学生对物体相对运动时的过程分析能力还有欠缺。

处理物体和传送带的运动学问题时，既要考虑每个物体的受力情况及运动情况，又要考虑到它们之间的联系与区别，只有这样，才能从整体上把握题意，选择规律时才能得心应手。

例7：一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图2-7，已知盘与桌布间的动摩擦因数为μl，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)

[审题]这是一道特别复杂的综合题，不仅物理过程多，而且干扰因素也多。乍看不是传送带的题目，但处理方法与例题6几乎完全相同。可以将题中复杂的物理过程拆散分解为如下3个小过程，就可以化繁为简、化难为易，轻易破解本题。

过程1：圆盘从静止开始在桌布上做匀加速运动至刚离开桌布的过程；

过程2：桌布从突然以恒定加速度a开始抽动至圆盘刚离开桌布这段时间内做匀加速运动的过程；

过程3：圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速直线运动的过程。

设桌面长为L，开始时，桌布、圆盘在桌面上的位置如图2-8甲所示；

圆盘位于桌面的中央，桌布的最左边位于桌面的左边处。由于桌布要从圆盘下抽出，桌布与圆盘之间必有相对滑动，圆盘在摩擦力作用下有加速度，其加速度a1应小于桌布的加速度a，但两者的方向是相同的。当桌布与圆盘刚分离时，圆盘与桌布的位置如图2-8乙所示。

圆盘向右加速运动的距离为x1，桌布向右加速运动的距离为L+x1。圆盘离开桌布后，在桌面上作加速度为a2的减速运动直到停下，因盘未从桌面掉下，故而盘作减速运动直到停下所运动的距离为x2，不能超过L－x1。通过分析并画出图2-8丙。

本题虽然是一个大多数同学都熟悉、并不难想象或理解的现象，但第一次能做对的同学并不多，其中的原因之一就是不善于在分析物理过程的同时正确地作出情境示意图，借助情境图来找出时间和空间上的量与量之间的关系。

[解析]

1.由牛顿第二定律：

μlmg=mal　　　　　　　 ①

由运动学知识：

v12=2al x1　　　　　　　 ②

3、对于物体在传送带上运动过程中的能量转化情况考虑不全面，出现能量转化不守恒的错误过程。

2、对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动，判断错误；

1、对于物体与传送带之间是否存在摩擦力、是滑动摩擦力还是静摩擦力、摩擦力的方向如何，等等，这些关于摩擦力的产生条件、方向的判断等基础知识模糊不清；

13．必须区别地面直线运动的“追及”问题与航天飞机“对接”宇宙空间站的不同

对地面的直线运动而言,当两个运动物体发生追赶运动时,只要“追赶物体”的速度大于“被追物体”的速度时即可追赶成功.且追赶成功时必有“追赶物体”与“被追物体”相对于同一起点的位移相同。这是“追及问题”的必备条件。

对于航天飞机与宇宙空间站的“对接”其实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是人造天体的变轨运行的变轨运行问题。

要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大--所需向心力增大--离心运动--轨道半径r增大--升高轨道的系列变速、变轨过程而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。

如图4－11所示，是航天飞机宇宙空间站的对接轨道示意图。其中轨道1是地球卫星的一个环绕轨道(圆形轨道)，轨道3是宇宙空间站的运行轨道，轨道2是一个长轴的两端点Q、P分别相切于轨道1与轨道3的椭圆轨道。航天飞机只有从预定的环形轨道1上的Q点，以一定的速度和加速度方式沿轨道2的半个椭圆轨道运动，才能恰好在轨道3上的P

点与宇宙空间站实现“对接”。

例18：在地球某一圆形轨道上运行的宇宙空间站，是适于人类长期生活的大型人造航天器。“和平号”空间站是人类历史上发射的第九座空间站，其中设有工作舱、过渡舱、服务舱等构件，自1986年2月进入太空轨道后先后与五个太空舱“对接”成功。15年来，“和平号”宇宙空间站先后同90多艘载人航天飞机及货运飞船成功对接，总共接纳了28个长期考察组和30个国际联合考察组，有108名宇航员登上了“和平号”空间站。“和平号”空间站于2001年3月23日回收坠落入南太平洋。试回答下列问题。

宇航员乘坐航天飞机加速升空进入轨道与“和平号”空间站对接后才能进入空间站。航天飞机为了追上并实现与空间站的成功对接，下列说法正确的是(　 )

A.只能从空间站同一轨道上加速

B.只能从较高轨道上加速

C.只能从较低轨道上加速

D.无论在什么轨道上加速均行

[审题]此题中的“宇宙空间站”“航天飞机”其实都是人造天体，当进入轨道运行时与卫星一样遵守万有引力定律，其向心力由万有引力提供。要实现航天飞机与宇宙空间站的“对接”，既要考虑航天飞机的加速，又要依据公式v =分析航天飞机因加速导致的变速、变轨、变向的问题。

[解析] 故对A选项。如果受直线运动中的物体追及的思维定势的影响，而让航天飞机沿与宇宙空间站相同的轨道加速追赶并“对接”，因速度v的增大必使向心力= m v2/r 增大，使得“>”，航天飞机做远离地球的离心运动而离开宇宙空间站所在的轨道，无法实现与宇宙空间站的对接。故A选项错误。

对B选项。如果让航天飞机从较高轨道上采用减小速度、降低轨道而实现与宇宙空间站的对接，则不仅技术难以完成，还应让航天飞行必须穿越宇宙空间站所在轨道而进入更高的轨道，必然会消耗大量的能量，因而不可取。故B选项错误。

对C选项。因为要使航天飞机与宇宙空间站对接，首先必须加速“追赶”，其次由于加速必然导致其轨道半径的增大，因而要实现航天飞机与宇宙空间站的成功对接，就必须让航天飞机从较低的轨道上加速，并沿一条特定的椭圆轨道，使之在宇宙空间站的轨道上实现对接。故C选项正确。

对D选项。由以上的分析讨论可知，“无论在什么轨道上加速都行”是绝对不行的。故D选项错误。

[总结]在太空中，航天飞机与宇宙空间站的对接，绝不同于地面上直线运动物体的“追及”问题，不可因定势思维而导致错误的理解。必须充分明确航天飞机由于加速度而导致的变轨问题，进而明确只有让航天飞机从低轨道上加速才能完成对接。

12．必须区别地面物体的受阻减速与人造地球卫星的受阻变轨的不同

　　 对于地面上做直线运动的物体而言,由运动学规律和牛顿第二定律可知,如果受到阻力的作用,必然产生与运动速度方向相反的加速度而做减速运动,直到最后停止运动.

对于处在轨道上正常运行的人造地球卫星,由于是万有引力完全提供向心力,其速度由GMm/r2 =m v2/r得v =,

其加速度由GMm/r2＝m得＝GM/r2.显然,卫星的线速度v和加速度a均与轨道半径r存在特定的关系.当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时，由运动学的原理可知，此时卫星的速度就会瞬时减小。然而，此处最易出现的错误就是：既然卫星由于阻力的作用其速度必然减小，则由v =可知，其轨道半径r变大，运行周期也将变大，显然这是错误的. 导致这种错误的根本原因是,仅仅片面考虑了阻力的作用而遗忘了还有万有引力的存在.这里要特别注意的是,决定人造地球卫星运动状态的主要因素是万有引力而不是所受的阻力.

正确的分析思路是:由于阻力的作用,卫星的速度v必然减少,假定此时卫星的轨道半径r还未来得及变化,即有万有引力=GMm/r2也未变化；而向心力= m v2/r则会变小.因此,卫星正常运行时“=”的关系则会变为“>”，故而在万有引力作用下卫星必做近地向心运动,从而使轨道半径r变小;又由公式v =可知,卫星的运行速度必然增大.究其实质,此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功,重力势能减少)为条件的.

例17： (2000年全国高考)某人造地球卫星因受高空稀薄气体的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变.某次测量中卫星的轨道半径为,后来变为且>。以、分别表示卫星在这两个轨道的动能.、分别表示卫星在这两个轨道绕地球运动的周期,则有　　　 (　　　 )

A. < 　<

B. <　 >

C. >　 <

D．>　 >

[审题]:求解此题必须明确以下几点:

①卫星动能的大小能代表速率的大小,其关系是动能=,因而可以通过分析速率的大小来分析动能的大小.

②决定卫星运动状态的主要因素是地球的万有引力而不是空气的阻力.

③就卫星的瞬时状态的变化而言,阻力的作用必然会使卫星的速度减小;但从一般变化的过程来看,卫星的速度是增大的,这种“增大”是以其轨道高度的变小为条件的。

④依据万有引力等于向心力的关系式GMm/r2 =m v2/r =m4π2 r/T2，可得到v =和T=2π，从而进行分析讨论即可。

[解析]　 当卫星受到空气阻力的作用时，其速度必然会瞬时减小，假设此时卫星的轨道半径r还未变化，则由公式= m v2/r可知卫星所需要的向心力必然减小；而由于卫星的轨道半径r还未来得及变化,由公式=GMm/r2得,卫星所受地球引力不变,则必有“>”，卫星必然会做靠近地球得向心运动而使轨道半径r变小.

由于万有引力提供向心力,则由GMm/r2 =m v2/r得v =,显然,随着卫星轨道半径r得变小,其速度v必然增大,其动能(=)也必然增大,故<。又由于GMm/r2 = m4π2 r/T2 得T=2π, 显然,随着卫星得轨道半径r得变小,其运行周期T必然变小,即<.故C选项正确.

　[总结]此题的本质是人造地球卫星的受阻而变轨变速的问题.其中存在着内在关系的物理量就是卫星的动能、速度v、周期T和轨道半径r，要分析这些量的“连锁”变化情形时，不能孤立地只看某一个量，而要抓住运动速度v这个最先、最易变化的关键量,然后运用v =和T=2π进行定量讨论.

11．必须区别人造地球卫星的圆周轨道与椭圆轨道的运行规律的不同

　　 此处首先要明确人造地球卫星的发射速度和环绕速度，环绕速度是指卫星在某一圆周轨道上做匀速圆周运动的运行速度，环绕速度并不仅指7。9km/s．

　要使人造地球卫星最终进入预定轨道而稳定运行，要经过火箭推动加速--进入停泊轨道(圆周运动)--再次点火变轨--进入转移轨道(椭圆轨道)--开启行星载动力--进入预定轨道(圆周轨道)等过程。

　 卫星的预定运行轨道均是圆周轨道，卫星在此轨道上做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力，卫星处于无动力稳定运行(其漂移运动此处暂略)的状态。

当发射速度大于7。9km/s而小于11。2km/s时，卫星则做椭圆运动逐渐远离地球，由于地球引力的作用，到达远地点P后，又会沿椭圆轨道面到近地点Q，如图4-9所示。在椭圆轨道的某一位置上，卫星所受地球的万有引力可以分解为切向分力(产生卫星的切向加速度)和沿法线方向的分力即向心力(产生卫星的向心加速度)。卫星在由近地点Q向远地点P运动的过程中做加速度和线速度都逐渐减小的减速运动；而由远地点P向近地点Q运行的过程则是加速度和线速度逐渐增大的加速运动，椭圆轨道是将卫星发射到预定轨道之间的一个过渡轨道。

例16：(1998年上海高考)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于P点如图4－10所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　 )

　　 A.卫星在轨道3上的运行速率大于轨道1上的速率

　　 B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道3上的角速度

　　 C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

　　 D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

[审题]此题是一个“高起点、低落点”的题目,涉及到了人造地球卫星的发射和运动中的线速度、角速度、向心加速度的基本知识.这是一个把卫星发射到预定轨道上去的情景模型.求解此题需要运用牛顿定律、万有引力定律和匀速圆周运动的规律,必须明确以下几点:

①只有在圆周轨上才会有万有引力定律完全提供向心力;

②卫星的轨道半径与卫星到地心的距离是不同的;

③在比较卫星在不同轨道上的角速度、线速度、加速度时要注意选用不同的公式.

　 [解析]对A选项.此选项比较的是卫星的线速度.由于万有引力提供卫星的向心力,则有GMm/r2 =m v2/r,所以v =；因轨道1的圆半径小于轨道3的圆半径,故此卫星在轨道1上的速度大于卫星在轨道3上的速度.故A选项错误.

对B选项.此选项求的是卫星的角速度,由于万有引力提供卫星的向心力,则有GMm/r2 =mω2r ,所以ω=,因轨道1的圆半径小于轨道3上的圆半径,故此卫星在轨道1上的角速度大于在轨道3上的角速度.故B选项正确.

　　 对C选项.Q点是圆周轨道1与椭圆轨道2的相切点,Q点即在圆周轨道1上又在椭圆轨道2上,Q点到地心的距离r一定.由于万有引力提供向心力,则有GMm/r2＝m,所以＝GM/r2.显然,卫星在圆周轨道1上的Q点和在椭圆轨道2上的上的Q点时具有的向心加速度均是＝GM/r2.故C选项错误.

　　 对D选项.由上面的讨论可知,因为圆周轨道3上的P点与椭圆轨道2上的P点是同一点,P点到地心的距离是一定的,由＝GM/r2得,其在P点得向心加速度是相同的.故D选项正确.

　 [总结]此题是人造地球卫星的发射与运行的题目.解答此题时,明确此卫星在各个轨道上的速度大小十分重要.设此卫星在轨道1上的Q点速度为、在轨道2上的Q点速度为、在轨道2上的P点速度为、在轨道3上的P点速度为，因轨道1为近似圆形轨道，其速度=7。9km/s,因轨道2为椭圆轨道,故>7、9km/s(但<11。2km/s)；卫星在轨道2上由Q点到P点的过程中做减速运动,则有<；要卫星由轨道进入轨道3稳定的运行.则必须在轨道2上的P点启动卫星的发动机使之加速变轨至圆轨道3上,则必有>.综合以上分析可得此四个速度的大小关系是>>>。

　　 在这里,明确把卫星发射到预定轨道的过程能够加深对此题意的理解.

　　 同步卫星的发射有两种方法,一种是“垂直发射”，是用火箭把卫星垂直发射到36000km的赤道上空,然后使之做的旋转飞行,使卫星进入同步轨道.另一种方法是“变轨发射”,即先把卫星发射到高度为200km至300km高处的圆形轨道上(也叫“停泊轨道”)。当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使火箭进入一个大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空的36000km处。此轨道叫做“转移轨道”.当卫星达到远地点时,启动卫星的发动机使之再加速进入同步轨道(即稳定运行的预定的圆形轨道).第一种方法在全过程种,火箭推动卫星处于“强动力”的飞行状态，必须消耗大量燃料，且要求在赤道上修建发射场，很不科学。第二种方法，运载火箭的耗能较少，发射场地设置受限较小，但技术要求很高。目前人类发射同步卫星均用第二种方法。