(12分)如图所示，一个光滑圆筒直立于水平桌面上，圆筒的直径为L，一条长也为L的细绳一端固定在圆筒中心轴线上的O点，另一端拴一质量为m的小球．当小球以速率v绕中心轴线OO′在水平面内做匀速圆周运动时(小球和绳在图中都没有画出，但不会碰到筒底)，求：

(1)当v＝时绳对小球的拉力大小；

(2)当v＝时绳对小球的拉力大小．

图13

（1）为使太空城的居民能如同在地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，太空城在电力驱动下绕自己的中心轴OO′以一定角速度转动，试求其转动的角速度.

（2）实际上，月球不是绕着地心公转，而是地球、月球在相互的引力作用下绕它们连线上的一固定点C做匀速转动，如图乙.试求该点C与地球球心的距离.（设地球质量为M₁，月球质量为M₂，地月中心距离为r）

（3）太空城的首选位置在与月球、地球相距为r的D处，如图13乙所示，这里，太空城在月球、地球引力的共同作用下，相对地球、月球静止.试证明太空城受地球、月球对其合力方向指向C点.