题目列表(包括答案和解析)
平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示,这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.如图,设直线
l的倾斜角为α(α≠90°).在l上任取两个不同的点,,不妨设向量的方向是向上的,那么向量的坐标是().过原点作向量,则点P的坐标是(),而且直线OP的倾斜角也是α.根据正切函数的定义得 ,这就是《数学
2》中已经得到的斜率公式.上述推导过程比《数学2》中的推导简捷.你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗?例如:(1)
过点,平行于向量的直线方程;(2)
向量(A,B)与直线的关系;(3)
设直线和的方程分别是 , ,那么,
∥,的条件各是什么?如果它们相交,如何得到它们的夹角公式?(4)
点到直线的距离公式如何推导?有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆与抛物线有一个公共的焦点,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设交于点,
证明:当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
一、填空题(本大题满分48分,每小题4分,共12小题)
1.; 2.; 3.; 4.; 5.;
6.; 7.; 8.; 9.; 10.;
11.; 12..
二、选择题(本大题满分16分,每小题4分,共4小题)
13.C; 14.A; 15.B; 16.C;
三、解答题(本大题满分86分,本大题共有6题)
17.(1);
(2);
18.1号至4号正四棱柱形容器是体积依次为。
∵ ,,
∴ 存在必胜方案,即选择3号和4号容器。
19.(1)∵ 由正弦定理,,∴ ,。
∵ , ∴ ,即。∴ 。
(2)∵ ,
∴ 。
20.(1)设放水分钟内水箱中的水量为升
依题意得;
分钟时,水箱的水量升, 放水后分钟水箱内水量接近最少;
(2)该淋浴器一次有个人连续洗浴, 于是,,
所以,一次可最多连续供7人洗浴。
21.(1)由及,∴时成等比数列。
(2)因,由(1)知,,故。
(3)设存在,使得成等差数列,则,
即因,所以,
∴不存在中的连续三项使得它们可以构成等差数列。
22.(1)解:设为函数图像的一个对称点,则对于恒成立.即对于恒成立,
由,故图像的一个对称点为.
(2)解:假设是函数(的图像的一个对称点,
则(对于恒成立,
即对于恒成立,因为,所以不
恒成立,
即函数(的图像无对称点.
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