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    在数列{an}中.a1=1且{an+an+1+an+2}是公差为1的等差数列.n=1,2,-,在数列{bn}中.b2=1,且{bnbn+1bn+2}是公比为-1的等比数列.n=1,2-.设Pn=a1+a4+a7+-+a3n-2.Qn=b2+b5+b8+-+b3n-1.(1)求Pn和Qn,(2)求所有满足Pn≤100Qn的n值的和. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (本小题满分12分)
    古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

    现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
    (1)   写出a1，a2，a3，并求出an；
    (2)   记，求和（）；
    （其中表示所有的积的和）
    (3)   证明：．

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    (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2.

    (1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1＝3.若点(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上；

    (2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．

     

     

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    1．    (本小题满分12分)

    古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

    现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：

    (1)    写出a1，a2，a3，并求出an；

    (2)    记，求和（）；

    （其中表示所有的积的和）

    (3)    证明：．

     

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    (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2.
    (1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1＝3.若点(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上；
    (2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．

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    (本小题满分12分)
    古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

    现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
    (1)   写出a1，a2，a3，并求出an；
    (2)   记，求和（）；
    （其中表示所有的积的和）
    (3)   证明：．

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    一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    B

    C

    D

    D

    A

    B

    C

    C

    C

    A

    D

    A

    二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

    13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

    三、解答题(本大题共6小题共74分)

    17.解(1)设，由，有x+y=-1                         ①……………1分

      与的夹角为，有，

      ∴，则x2+y2=1                                                             ②……………2分

      由①②解得，∴(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

      (2)由2B=A+C知B=                      ……………5分

      由垂直知(0，-1)，则

                                      ……………6分

      ∴

      =1+                   ……………8分

      ∵0<A<

      ∴-1≤cos(2A+)<

      即                                                               ………………10分

      故                                                           ………………12分

    18.解：(1)过点A作AF⊥CB交CB延长线于点F，连结EF，则AF⊥平面BCC1B1，∠AEF为所求直线AE与平面BCC1B1所成的角.                 …………………2分

      在Rt△AEF中，AF=∠AEF=

      故直线AE与平面BCC1B1所成的角为arctan             …………………6分

      (2)以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则

        A (0，-)，E (0，)，D1 (-1，0，2)

                                              …………………8分

       设平面AED1的一个法向量则

       取z=2，得=(3，-1，2)

       ∴点O到平面AED1的距离为d=              …………………12分

    19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=1，

       ∴a1?a4,a7…,a3n-2是首项为1，公差为1的等差数列，

       ∴Pn=                                                …………………4分

       由

       ∴b2,b5,b8, …b3n-1是以1为首项，公比为-1的等比数列

       ∴Qn=                                 …………………8分

       (2)对于Pn≤100Qn

       当n为偶数时，不等式显然不成立；

       当n为奇数时，，解得n=1，3，…，13.

    所求之和为                                         ………………12分

    20.解∵P(x=6)=                                                   ………………3分

      P(x=7)=                                             ………………6分

      P(x=8)=                                                      ………………9分

      ∴P(x≥6)=                                           ………………12分

      答：线路信息畅通的概率为

    21.解：因为f′(x)=3x2+6ax+b,由题设得

     

      解得：                                                       ………………4分

      ∴当时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在极值；

      当时，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合条件。    ………………6分

      且f(1)=20, f(0)=4，于是由题设得：3x2+12x+9≤20m-8在区间[-4，3]上恒成立，又f′(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3在区间 [-4，3]上的最大值为72.

     ∴,即实数m的取值范围是.

    22.(1)设M (x,y),则由且O是原点得

      A (2，0)，B  (2，1)，C (0，1)，从而(x，y),

     

      由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|2]

      即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程                                   ………………4分

      ①当k=1时，y=0动点M的轨迹是一条直线

    ②当k≠1时，(x-1)2+

    k=0时，动点M轨迹是一个圆

    k>1时，动点M轨迹是一条双曲线；

    0<k<1或k<0时轨迹是一个椭圆 .                                     ………………6分

    (2)当k=时，动点M的轨迹方程为(x-1)2+2y2=1即y2=-(x-1)2

    从而

    又由(x-1)2+2y2=1   ∴0≤x≤2

    ∴当x=时，的最大值为.

    当x=0时，的最大值为16.

    ∴的最大值为4，最小值为                     …………………10分

    (3)由由得

    ①当0<k<1时，a2=1,b2=1-k,c2=k

    ∴e2=k ∴

    ②当k<0时，e2=

    ∴k∈                                                      …………………14分

     


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