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已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，
使，得到三棱锥，如图所示．
（1）当时，求证：；
（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．

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点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．

（1）求的大小；
（2）求二面角的正切值．

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如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）求证：BD⊥FG；
（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅲ）当二面角B-PC-D的大小为

2π

3

时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

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1．解析：，故选A。

2．（理）解析：∵

，

故选B。

（文）解析：抽取回族学生人数是，故选B。

3．解析：由，得，此时，所以，，故选C。

4．（理）解析：显然，若与共线，则与共线；若与共线，则，即，得，∴与共线，∴与共线是与共线的充要条件，故选C。

（文）解析：∵∥，∴，∴，故选C。

5．解析：设公差为，由题意得，；，解得或，故选C。

6．解析：（理）∵双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴双曲线的离心率是。故选B.

（文）∵双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐近线方程是,故选D.

7.解析：∵、为正实数，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因为函数在是增函数，∴，故恒成立的不等式是①③④。故选C.

8．解析：∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，故选D。

9．（理）解析：∵

，此函数的最小值为，故选C。

（文）解析：∵

，∴此函数的最小正周期是，故选C。

10．解析：如图，∵正三角形的边长为，∴，∴，又∵，∴，故选D。

11．解析：∵在区间上是增函数且，∴其反函数在区间上是增函数，∴，故选A

12．解析：如图，①当或时，圆面被分成2块，涂色方法有20种；②当或时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；

③当时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是，故选A。

13．（理）解析：做出表示的平面区域如图，当直线经过点时，取得最大值5。

（文）解析：将代入结果为，∴时，表示直线右侧区域，反之，若表示直线右侧区域，则，∴是充分不必要条件。

14.解析：（理）∵，∴时，，又时，满足上式，因此，，

∴。

 （文）∵，∴时，，又时，满足上式，因此，。

15．解析：设正四面体的棱长为，连，取的中点，连，∵为的中点，∴∥，∴或其补角为与所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴与所成角的余弦值为。

16．解析：∵，∴，∵点为的准线与轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中为点到准线的距离，四边形为菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量与的夹角为。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴。………………………10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为，∴学生甲被评为三好学生的概率为。……………………12分

（理）∵，，，。……………………9分

∴的分布列如下表：

0

1

2

3

∴的数学期望。……………………12分

19．(12分)（理）解析：（Ⅰ）时，

，，

由得， 或   ………3分

+

0

－

0

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

，      ………………………6分

（Ⅱ）在定义域上是增函数，

对恒成立，即              

   ………………………9分

又（当且仅当时，）

 ………………………4分

（文）解析：（Ⅰ）∵，∴，

 ，，………………………3分

（Ⅱ）∵，∴，

∴，

又，∴数列自第2项起是公比为的等比数列，………………………6分

∴，………………………8分

（Ⅲ）∵，∴，………………………10分

∴。………………………12分

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分

（Ⅲ）过点做∥，交于点，∵平面，∴为