（2012•广西模拟）已知f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值，证明|f(x)|＞g(x)+

1

2

恒成立；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）若f（x）的最小值是3，求a的值．

（2013•深圳一模）已知f(x)=x-

a

x

(a＞0)，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（3）求证：

n

i=1

4i

4i2-1

＞ln(2n+1)(n∈N*)．