如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角为a，记两个矩形对角线的交点分别为Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求证：QQ′∥平面ABB′；
（2）当b=

2

a，且a=

π

3

时，求异面直线AC与DB′所成的角；
（3）当a＞b，且AC⊥DB'时，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

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某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（ 例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

1

10

，路段CD发生堵车事件的概率为

1

15

）．
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记ξ路线A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

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一、选择题:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空题：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答题：

(17)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………5分

         …………8分

∵，，  ∴，

故所求函数为，函数的值域为……………10分

（18）解：

      记顾客购买一件产品，获一等奖为事件，获二等奖为事件，不获奖为事件，则，，

（Ⅰ）该顾客购买2件产品，中奖的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）的可能值为0，20，40，100，120，200，其中

        ，，

         ，，

        ，……………8分

的分布列为

                                                                ……………10分

的期望

（元）…………………………………………………………………12分

（19）解法一：

      （Ⅰ）取中点，连结、，则，

       又， ∴，四边形是平行四边形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）连结

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，则，且，为的中点。

作于，连结，则，

 于是为二面角的平面角。…………………………8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，则

，

∴，∴。

故二面角的大小为…………………………12分

解法二：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，使轴，、分别在轴、轴上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）设为面的法向量，则，且。

∵，，

∴，取，，，则 ……………8分

又为面的法向量，所以，

因为二面角为锐角，所以其大小为…………………………12分

（20）解：

     （Ⅰ）  ……………………………………………………1分

      （1）当时，由，知，在单调递增
         而，则不恒成立…………………………3分

       （2）当时，令，得

           当时，，单调递增；时， ，单调递减，在处取得极大值。

   由于，所以，解得，即当且仅当时恒成立。

综上，所求的值为   …………………………7分

（Ⅱ）等价于，

下证这个不等式成立。

由（Ⅰ）知，即，……………9分

∴

…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）曲线方程可写为，

设，则，又设、、

曲线在点处的切线斜率，则切线方程为，

即，亦即…………………………3分

分别将、坐标代入切线方程得，

∴，

由，得

，  ①

，  ②

∴ ……………7分

∵，∴，

则由②式得。

从而曲线的方程为…………………………8分

（Ⅱ）轴与曲线、交点分别为、，此时……9分

当、不在轴上时，设直线方程为。

若，则、在第一象限，

由，得，由得，

∴………………………………………11分

因为曲线和都关于轴对称，所以当时，仍有

综上，题设的为定值…………………………12分

（22）解：

      （Ⅰ）由，且，得

当时， ，解得；

当时，，解得

猜想：……………………………………………………2分

用数学归纳法证明如下

（1）       当时，命题显然成立。………………………………………3分

（2）       假设当时命题成立，即，那么

         由，得

              于是，当时命题仍然成立………………………………………6分

根据（1）和（2），对任何，都有…………………………7分

（Ⅱ）当时，，且对于也成立。

因此，

对于，由，得

，……………10分

，

综上，………………………………………12分