电视剧《华罗庚》中有一个镜头：华罗庚少年时代用心算法解出了“孙子算经”中的难题，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？学曰：二十三.”即一个正整数，被3，5，7除，余数分别为2，3，2.“孙子算经”解法的口诀是：“三人同行七十稀，五树梅花二十一，其子团圆正月丰，除百零五便得知.”

    这个算法又叫“韩信点兵”.相传韩信才略过人，领兵打仗时，为了对敌方保密，从不点自己军队的人数，只是让他的士兵以三人一排很快地从他面前过去，再以五人一排走一次，最后以七人一排走过去，由于队伍走得很快，别人根本来不及数有多少人.然而韩信只对各队士兵的最后一排掠一眼，就知道总数了，他利用的就是上面的这个口诀，你能理解这个口诀吗？

    求解“孙子问题”的算法有很多，你能想出什么样的算法？

   

电视剧《华罗庚》中有一个镜头：华罗庚少年时代用心算法解出了“孙子算经”中的难题，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？学曰：二十三．”即一个正整数，被3，5，7除，余数分别为2，3，2．“孙子算经”解法的口诀是：“三人同行七十稀，五树梅花二十一，其子团圆正月丰，除百零五便得知．”

    这个算法又叫“韩信点兵”．相传韩信才略过人，领兵打仗时，为了对敌方保密，从不点自己军队的人数，只是让他的士兵以三人一排很快地从他面前过去，再以五人一排走一次，最后以七人一排走过去，由于队伍走得很快，别人根本来不及数有多少人．然而韩信只对各队士兵的最后一排掠一眼，就知道总数了，他利用的就是上面的这个口诀．

    画出程序框图，并编写程序解决“韩信点兵”问题．

数列首项，前项和满足等式（常数，……）

（1）求证：为等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列使 （……），求数列的通项公式.

（3）设，求数列的前项和.

【解析】第一问利用由得

两式相减得

故时，

从而又  即，而

从而  故

第二问中，     又故为等比数列，通项公式为

第三问中，

两边同乘以

利用错位相减法得到和。

（1）由得

两式相减得

故时，

从而   ………………3分

又  即，而

从而  故

对任意，为常数，即为等比数列………………5分

（2）    ……………………7分

又故为等比数列，通项公式为………………9分

（3）

两边同乘以

………………11分

两式相减得

 

已知点（）,过点作抛物线的切线，切点分别为、（其中）．

（Ⅰ）若，求与的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的方程；

（Ⅲ）若直线的方程是，且以点为圆心的圆与直线相切，

求圆面积的最小值．

【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。

中∵直线与曲线相切，且过点，∴，利用求根公式得到结论先求直线的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。

（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，借助于函数的性质圆面积的最小值

（Ⅰ）由可得，．  ------1分

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

∴，或， --------------------3分

同理可得：，或----------------4分

∵，∴，． -----------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则的斜率，

∴直线的方程为：，又，

∴，即． -----------------7分

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，--------------8分

故圆的面积为． --------------------9分

（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，    ………10分

∴

，

当且仅当，即，时取等号．

故圆面积的最小值．