如图所示，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M，N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M，N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动，设OM＝x，ON＝y(y＞x≥0)，△AOM的面积为S，若cosα，OA是方程2z²－5z＋2＝0的两个根．

(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM＝30°)时，求点N移动的距离；

(2)求证AN²＝ON·MN；

(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

如下图所示，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M，N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M，N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移．设OM＝x，ON＝y(y＞x≥0)，△AOM的面积为S，且cosα，OA是方程2z²－5z＋2＝0的两个根．

(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM＝30°)时，求点N移动的距离；

(2)求证AN²＝ON·MN；

(3)试求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．