已知抛物线y²=4ax(a＞0)的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径的圆在x轴的上方与该抛物线交于点M、N.

(1)求证:A点在以M、N为焦点且过F的椭圆上;

(2)设P是MN的中点,是否存在这样的正实数a,使得|PF|是|FM|和|FN|的等差中项?若存在,求出a的值;如不存在,请说明理由.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

 

【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）证明：易得，于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量，

则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值为.

（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

如图，在正四棱锥中，．

（1）求该正四棱锥的体积；

（2）设为侧棱的中点，求异面直线与

所成角的大小．

【解析】第一问利用设为底面正方形中心，则为该正四棱锥的高由已知，可求得，

所以，

第二问设为中点，连结、，

可求得，，，

在中，由余弦定理，得

．

所以，

 

在中，“”是“”的    （    ）

    A．充分非必要条件                       B．必要非充分条件

    C．充分必要条件                         D．既非充分也非必要条件

 

在中，则BC =（  ）

A.       B.      C.2          D.