Question

已知抛物线y²=4ax(a＞0)的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径的圆在x轴的上方与该抛物线交于点M、N.

(1)求证:A点在以M、N为焦点且过F的椭圆上;

(2)设P是MN的中点,是否存在这样的正实数a,使得|PF|是|FM|和|FN|的等差中项?若存在,求出a的值;如不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明：设圆A的方程为(x-a-4)²+y²=16,将y²=4ax代入得x²+(2a-8)x+a²+8a=0.

    设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),则x₁+x₂=8-2a,x₁x₂=a²+8a.

    由题意Δ=(2a-8)²-4(a²+8a)＞0,

∴0＜a＜1.

    由抛物线定义知|MF|=x₁+a,|NF|=x₂+a,

∴椭圆的长轴长为|MF|+|NF|=x₁+x₂+2a=(8-2a)+2a=8.

    又|AM|+|AN|=2|AF|=8,

∴A点在以M、N为焦点且过F的椭圆上.

(2)解：假设存在满足条件的正实数a,则由2|FP|=|MF|+|NF|=8,知|FP|=4.

    设P(x₀,y₀),则

x₀==4-a,y₀==.

    由|FP|=4,得(a-x₀)²+y₀²=16,即(2a-4)²+(-2a²+8a+2a)=16.

    整理得a(a-4+)=0,

∴a₁=0,a₂=1.

    此时a₁、a₂(0,1),

∴满足条件的正实数a不存在.