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设函数f（x）的定义域为D，若存在x∈D，使f（x）=x成立，则称以（x，x）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y_M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．

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一、填空题

1．   2．   3．既不充分条件又不必要条件  4．[－4，－π][0，π]

5．   6．6   7．   8．2个   9．等腰直角三角形

10．   11．（-3，4），（-1，2）   12．①、②、⑤  13．

14．C

二、解答题

15．（本小题满分14分）

解：（1）设由得

    它的解集为（1，3）得方程的两根为1和3且a<0

    即  ……（1）                      ……3分

     有等根得

             ……（2）                      ……6分

     由(1)(2)及得

故的解析式为                       ……8分

（2）由

及                      ……10分

由                                           ……12分

解得                               ……14分

16．（本小题满分14分）

解：由得，                    ………………………………2分

又

，                 ……………………………………6分

由得,   …………………………10分

．                               ……14分

17．（本小题满分15分）．

已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．

（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围．

解：（1）设由得

    它的解集为（1，3）得方程的两根为1和3且a<0

    即  ……（1）                      ……3分

     有等根得

             ……（2）                      ……6分

     由(1)(2)及得

故的解析式为                       ……8分

（2）由

及                      ……10分

由                                           ……12分

解得                               ……15分

18解：（1）当m＝2时，A＝（-2，2），B＝（-1，3）∴ AB＝（-1，2）．……5分

（2）当m＜0时，B＝（1+m，1-m）

要使BA，必须，此时-1m<0；                    ……8分

当m＝0时，B＝，BA；适合                               ……10分

当m＞0时，B＝（1-m，m＋1）

要使BA，必须，此时0<m≤1．                     ……13分

∴综上可知，使BA的实数m的取值范围为[-1，1]               ……15分

法2  要使BA，必须，此时-1m1；         ……13分

∴使BA的实数m的取值范围为[-1，1]                         ……15分

18．（本小题满分15分）

（1）解：由得，

．     ………………2分

设

                        =＜0(讨论a＞1和0＜a＜1)，

得f(x)为R上的增函数．                                   ………………5分

（2）由，     …………7分

即得，        ………………9分

得1＜m＜.                                          ………………10分

（3）f(x)在R上为增函数)f(x) 当时)f(x)-4的值恒为负数，  ………13分

而f(x)在R上单调递增得f(2)-40，                     ………………15分

19．（本小题满分16分）

解：（1）∵f（x+1）为偶函数，

∴恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0．∴b=－2a．         ………………2分

∴．

∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，

∴二次方程有两相等实数根，

∴

                         ………………6分

（2）

                     ………………8分

即为方程的两根

．                                 ………………11分

∵m＜n且．

故当；

当k＞1时，

当k=1时，[m，n]不存在．                              ………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）若为_函数f₍x_{)不动点，则有，}

_{整理得          ①}              ………………2分

_{根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根互为相反数，得}

>4a  且，<0

所以b=3 ,a>0                                          ………………4分

而 ，所以．

即b=3，a>0，且a≠9.                                   ………………5分

（2）在（1）的条件下，当a=8时，．

由 ，解得_{两个不动点为，}……6分

_{设点P(x ,y),则y>3 ,即 >3解得x<-3 ．}              ………………8分

_{设点P(x，y)到直线A1A2的距离为d，则}

．                                 ………………10分

当且仅当，即x=―4时，取等号，此时P(―4，4)． ……12分

（3）命题正确．                                              ………………13分

因为_{f(x)定义在R}上的奇函数，所以_f(―0)=―_f(0) ,所以0是奇函数_{f(x)的一个不动点．}

_设c≠0是奇函数_{f(x)的一个不动点,则f(c)=c ,由，所以―c也是f (x)的一个不动点．}

_所以奇函数_{f(x)的非零不动点如果存在,则必成对出现，故}奇函数_{f(x)的不动点数目是奇数个．}                                                    ………………16分