在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB₁⊥BC₁,AB=CC₁=a,BC=b.

(1)设E、F分别为AB₁、BC₁的中点,求证:EF∥平面ABC;

(2)求证:A₁C₁⊥AB;

(3)求点B₁到平面ABC₁的距离.

 【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

过抛物线y²=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．

(1)设，求；

(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

已知函数；

（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围。

（2）若函数，若在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，求实数的取值范围。

【解析】第一问中，利用导数，因为在其定义域内的单调递增函数，所以 内满足恒成立，得到结论第二问中，在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，转换为不等式有解来解答即可。

解：（1），

因为在其定义域内的单调递增函数，

所以 内满足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

当且仅当，即x=1时取等号，

在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是.

（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，设

 上的增函数，依题意需

实数k的取值范围是

 

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[

1

e

-1，e-1]时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求实数m的取值范围；
（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上的根的个数．