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（本题满分14分）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数条形图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（Ⅱ）补全频数条形图；
（Ⅲ）学校决定成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？

分组	频数	频率
50.5~60.5	4	0.08
60.5~70.5		0.16
70.5~80.5	10
80.5~90.5	16	0.32
90.5~100.5
合计	50

 

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（本题14分）
高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

分组	频数	频率
	①	0. 025
		0．050
		0．200
	12	0．300
		0．275
	4	②
[145，155]		0．050
合计		③

 

	成绩（分）

 

 
（1）根据上面图表，①②③处的数值分别为 ▲ 、 ▲  、 ▲   ；
（2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；
（3）根据题中信息估计总体落在［125，155］中的概率.

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

解答

D

D

A

B

D

C

C

B

D

D

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

11．   负                                        12．　　　　　　　    　

13．    7                                        14．                     　      

15．   4010                                    16．                         

17．若他不放弃这5道题，则这5道题得分的期望为：                                                                           

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．解：（Ⅰ）①，②，③，④处的数值分别为：3，0.025，0.100，１．…………4分

（Ⅱ）

            …………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）（?）120分及以上的学生数为：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;

（?）平均分为:

（?）成绩落在［126，150］中的概率为:

…………………………………………………………………………14分

19．解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

侧棱底面，且.                           

∴，

即四棱锥的体积为.             ………………………………4分

(Ⅱ) 不论点在何位置，都有.                            

证明如下：连结，∵是正方形，∴.          

∵底面，且平面，∴.        

又∵，∴平面.                        

∵不论点在何位置，都有平面. 

∴不论点在何位置，都有.        ………………………………8分

(Ⅲ) 解法1：在平面内过点作于，连结.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

从而△≌△，∴.

∴为二面角的平面角.                           

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，             

∴，即二面角的大小为.  …………………14分

解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角

坐标系. 则，从而

，，，.

设平面和平面的法向量分别为

，，

由，取.   

由，取. 

设二面角的平面角为，

则，       

  ∴，即二面角的大小为.    …………………14分

20．解：（Ⅰ）令①

令　②

由①、②知，，又是上的单调函数，

．　　　　　………………………………………………………………………4分

（Ⅱ），

．

，

     …………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令，则

         ……………………12分

对都成立

        …………………………………………………………………………………15分

21．解：（Ⅰ）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0).

则有.

两式作差有

.

设直线BC的斜率为,则有

.  (1)

因F₂(2,0)为三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得.

直线BC的方程为.      …………………………………………7分

 (Ⅱ)由AB⊥AC,得  （2）

设直线BC方程为，得

，

代入（2）式得,，

解得或

故直线过定点（0，．        …………………………………………14分

22．解：（Ⅰ）

.

当时，

．从而有．…………………5分

（Ⅱ）设P，切线的倾斜角分别为，斜率分别为．则

．

由切线与轴围成一个等腰三角形，且均为正数知，该三角形为钝角三角形，

　或   ．又

．从而，．

…………………………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令

；

．

．

又．

．

当时，即时，曲线与曲线无公共点，故方程无实数根；

当时，即时，曲线与曲线有且仅有1个公共点，故方程有且仅有1个实数根；

当时，即时，曲线与曲线有2个交点，故方程有2个实数根．         …………………………………………………………………15分