题目列表(包括答案和解析)
（本题满分12分）
如下图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为
km．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=
(rad)，将表示成的函数；
②设OP
(km) ，将表示成
的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
（本题满分12分） （I）对于计算
值的一个算法，其算法步骤如下：
第一步，令
第二步，若 (1) 成立，则执行第三步；否则，输出
,并结束算法 。
第三步，计算
第四步，计算
，返回第二步。
在算法步骤中 (1) 处填上合适的条件，使之能完成该题算法功能（请写在答题卷上）；
（II）画出输入一个正整数
，求
值的程序框图。
中，
，用过
，
，
三点的平面截去长方体的一个角后，留下如图的几何体，且这几何体的体积为120．
的长；
到平面
的距离．
(本题满分12分)
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：
）
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结
，证明：∥面
(本题满分12分)
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：
）
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结
，证明：∥面
一、选择题
1．D． 2．A. 3．B. 4．C． 5．B. 6．A.
7．C. 8．D. 9．D. 10．C. 11．B. 12．B.
二、填空题：
13．
．
14．5. 15．
或
. 16．②.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力．满分12分.
.
，
，
即
时，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为[
，
]
.
18．（1）记“编号的和为
”的事件
，事件所包含的基本事件为
、
、
、
、
，共5个， ∴
（2）记“甲赢”为事件
，事件所包含的基本事件为
、
、、
、、
、、
、、
、、
、
，共13个， ∴
，
19.本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考查空间想像能力及推理论证能力.满分12分.
（Ⅰ）如图
俯视图
（Ⅱ）所求多面体的体积
.
（Ⅲ）证明：如图，在长方体
中，连接
，则∥
.
因为Ｅ，Ｇ分别为
的中点，
所以∥
，从而∥.
又
，所以∥平面ＥＦＧ.
20. 本题主要考查等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想．满分12分．
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则
解得
.
因此，an=-1+2（n-1）=2n-3.
（Ⅱ）由已知
（1）得，
当n≥2时，
（2）.
由（1）-（2）得
，
所以
，又
，
故
.
在式（1）中，令n=1得，
，
又
，故
.
所以
.
21.本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想.满分12分.
（Ⅰ）由题设b=
，c=2，从而a2=b2+c2=6，
所以椭圆C的方程为
.
（Ⅱ）假设斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角，
设直线l的方程为y=k(x - 2).
所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
方法二：
同方法一得到
.
所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
22.本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想.满分14分.
（Ⅰ）
,由
得，
，解得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
.
当
时，
；
当
时，
；
时，.
所以
的单调增区间是
；的单调减区间是
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在
内单调递增，在内单调递减，在
上单调递增，且当
或
时，
.
所以的极大值为
，极小值为
.
又因为
,
.
当且仅当
，直线
与
的图象有三个交点.
所以，
的取值范围为
.
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