试判断下面的证明过程是否正确：

用数学归纳法证明：

证明：（1）当时，左边＝1，右边＝1

∴当时命题成立．

（2）假设当时命题成立，即

则当时，需证

由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为的等差数列的前项和，其和为

∴式成立，即时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切，命题成立．

试判断下面的证明过程是否正确：

用数学归纳法证明：

证明：（1）当时，左边＝1，右边＝1

∴当时命题成立．

（2）假设当时命题成立，即

则当时，需证

由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为的等差数列的前项和，其和为

∴式成立，即时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切，命题成立．

已知一个关于正整数的命题满足“若时命题成立，则时命题也成立”．有下列判断：

（1）当时命题不成立，则时命题不成立；

（2）当时命题不成立，则时命题不成立；

（3）当时命题成立，则时命题成立；

（4）当时命题成立，则时命题成立．

其中正确判断的序号是        ．（写出所有正确判断的序号）

 

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

 

适当增加条件，使下列各命题成立
（1）若ac²＞bc²则a＞b 且 c≠0．．
（2）若a＞b则ac＜bc 且c＜0．．
（3）若a＞b，c＞d则ac＞bd 且a＞b＞0，c＞d＞0．．
（4）若a≥b，则

1

a

≤

1

b

且ab＞0．．
（5）若a＜b，则

a

＞

b

(n=2，3)且0＜a＜b．
（6）若a＞b，则a-c＞b-d 且c＜d．