如图,三棱锥中,侧面底面, ,且,.(Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面所成角的正弦值.

【解析】第一问中，利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二问中结合取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

则为直线AE与底面ABC 所成角,

解

 (Ⅰ) 证明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如图, 取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,

因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

则为直线AE与底面ABC 所成角,

且………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已证平面PBC,所以,即,

故,

于是

所以直线AE与底面ABC 所成角的正弦值为

 

 

如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ACD=90°，△PAD为等边三角形，且PA⊥AB．若AB =1，CD =2，AD =，分别取PC、PD的中点为M、N．

（1）证明ABMN是平面图形并求截面ABMN的面积．

（2）求D到平面PBC的距离．

（3）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦．

 

如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ACD=90°，△PAD为等边三角形，且PA⊥AB．若AB =1，CD =2，AD =，分别取PC、PD的中点为M、N．

（1）证明ABMN是平面图形并求截面ABMN的面积．

（2）求D到平面PBC的距离．

（3）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90??，AB//CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点。

（1）证明：CD⊥平面BEF；

（2）设PA=k·AB且二面角E-BD-C的平面角大于30??，求k的取值范围。