如下图.已知△OFQ的面积为S.且与的数量积等于1. (1)若＜S＜2.求向量与的夹角θ的取值范围, (2)设||=c(c≥2).S=c.若以O为中心.F为焦点的椭圆经过点Q.当||取得最小值——青夏教育精英家教网—

如下图.已知△OFQ的面积为S.且与的数量积等于1. (1)若＜S＜2.求向量与的夹角θ的取值范围, (2)设||=c(c≥2).S=c.若以O为中心.F为焦点的椭圆经过点Q.当||取得最小值时.求此椭圆的方程. 解:(1)tanθ=2S.又∵＜S＜2. ∴1＜tanθ＜4.∴＜θ＜arctan4. (2)以O为原点.所在直线为x轴建立坐标系. 设椭圆方程为+=1(a＞b＞0). 点Q(x1.y1).则=(x1-c.y1). 又∵△OFQ的面积为||·y1=c. ∴y1=.又由·=1.解得x1=c+. ||==(c≥2). 设f(c)=c+.则(c)=1-=. 当c≥2时.(c)＞0.∴f(c)在［2.+∞)上递增.∴当c=2时.||最小. 此时Q(.).由此可得 a2=10.b2=6. ∴椭圆方程为=1. ●思悟小结向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观.向量本身是一个数形结合的产物.因此在向量的复习中要注意数与形的结合.代数与几何的结合.形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题.在物理和工程技术中应用也很广泛. ●教师下载中心教学点睛教材中安排了解三角形应用举例和实习作业.根据新教材突出应用这一显著特点.教学中应充分利用这些素材.使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练.渗透数学建模思想.培养学生分析.解决实际问题的能力. 拓展题例 [例1] 已知a=(x2.x).b=(x.x-3).x∈［-4.4］. (1)求f(x)=a·b的表达式, (2)求f(x)的最小值.并求此时a与b的夹角. 解:(1)f(x)=a·b=x2·x+x·(x-3)=x3+x2-3x.x∈［-4.4］. (2)(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1). 列表: x -4 -3 1 (1.4) 4 (x) + 0 - 0 + f(x) ↑ 极大值9 ↓ 极小值- ↑ 故当x=1时.f(x)有最小值为-. 此时a=(.1).b=. 设θ为a与b的夹角.则cosθ==-. 又由θ∈［0.π］.得θ=. [例2] 如图所示.对于同一高度的两个定滑轮.用一条绳子跨过它们.并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体.另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体.为使系统保持平衡状态.此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径.绳子的重量) 分析:先进行受力分析.列出平衡方程.然后用数学方法求解. 解:设所求物体质量为m kg时.系统保持平衡.再设F1与竖直方向的夹角为θ1.F2与竖直方向的夹角为θ2.则有 (其中g为重力加速度). 由①式和②式消去θ2.得 m2-8mcosθ1+12=0. 即m=4cosθ1±2. ③ ∵cosθ2＞0.由②式知.③式中m=4cosθ1-2不合题意.舍去. 又∵4cos2θ1-3≥0.解得≤cosθ1≤1. 经检验.当cosθ1=时.cosθ2=0.不合题意.舍去. ∴2＜m＜6. 综上.所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时.系统可保持平衡. 评注:(1)m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义.本题容易忽略cosθ2＞0的实际限制. 【查看更多】

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如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1，